2 vektoren gleiche richtung

Darstellung von Vektoren¶

Bei Vektoren handelt es sich aus geometrischer Sicht um Strecken mit einer bestimmten Länge, die sowohl eine bestimmte Richtung, wie auch einen bestimmten Richtungssinn haben; dieser wird in Zeichnungen durch Pfeil am Ende der Strecke hervorgehoben. In der Formelschreibweise werden Vektoren meist mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und durch einen Pfeil über der Vektorgröße markiert.

Darstellung eines Vektors.

Je nachdem, ob zwei- oder dreidimensionale geometrische Formen untersucht werden, reicht ein geordnetes Paar aus zwei oder ein Tupel aus drei Koordinatenwerten – also

beziehungsweise – aus, um einen Vektor vollständig zu charakterisieren.[1] Die einzelnen Koordinatenwerte („Komponenten“) geben dabei an, um wie viele Längeneinheiten die Spitze des Vektors entlang der jeweiligen Raumrichtung vom Anfangspunkt des Vektors entfernt liegt.

Darstellung eines (dreidimensionalen) Ortsvektors in einem Koordinatensystem.

Ein Vektor, dessen Anfangspunkt dem Ursprung des Koordinatensystems

entspricht, wird als Ortsvektor bezeichnet. Jeder Punkt eines Raumes kann durch einen zugehörigen Ortsvektor eindeutig charakterisiert werden.

Betrag eines Vektors

Die Länge der Verbindungsstrecke vom Anfangspunkt eines Vektors

zu seinem Endpunkt wird Betrag des Vektors genannt. In Kurzform schreibt man dafür oder (ohne Vektorpfeil).

Betrag eines (zweidimensionalen) Vektors.

Der Betrag eines Vektors kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgendermaßen anhand seiner Komponenten

und (und bei dreidimensionalen Vektoren) berechnet werden:

Beispiele:

• Der zweidimensionale Vektor

  hat folgenden Betrag:

• Der dreidimensionale Vektor

  hat folgenden Betrag:

Identische Vektoren

Zwei Vektoren

und sind gleich, wenn sie in allen Koordinaten übereinstimmen. Beide Vektoren haben dann den gleichen Betrag, die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn. Sie können allerdings von unterschiedlichen Anfangspunkten ausgehen und daher parallel zueinander im Raum verschoben sein, da für Vektoren stets nur die Differenz der Koordinatenwerte von Anfangspunkt und Endpunkt von Bedeutung ist.

Zwei identische Vektoren.

Gegenvektor

Das Negative

eines Vektors , auch „Gegenvektor“ genannt, ist ein Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung wie , jedoch mit umgekehrtem Richtungssinn.

Vektor und Gegenvektor.

In der Komponentenschreibweise kann der zu einem Vektor

gehörende Gegenvektor gebildet werden, indem man alle Komponenten von mit einem Minuszeichen versieht:

Bei zweidimensionalen Vektoren wird die dritte Komponente

weggelassen.

Normvektor und Nullvektor

Ein Vektor, dessen Länge genau einer Längeneinheit

entspricht, wird „normierter“ Vektor genannt.

Ein Vektor mit Betrag Null wird als Nullvektor

bezeichnet. Bei einem Nullvektor sind Anfangs- und Endpunkt identisch.

Addition und Subtraktion von Vektoren¶

Ein Vektor kann durch Beibehalten seiner Richtung und seines Richtungssinns, also parallel im Raum verschoben werden, ohne dass sich die Werte seiner Komponenten ändern. Dies kann genutzt werden, um zwei Vektoren zeichnerisch zu addieren beziehungsweise subtrahieren.

Der Summenvektor

Fügt man an einen Vektor

einen zweiten Vektor durch eine passende Verschiebung (Translation) so an, dass der Anfangspunkt des zweiten Vektors mit dem Endpunkt des ersten Vektors übereinstimmt, dann erhält man den Summenvektor , indem man den Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des zweiten Vektors verbindet.

Summenvektor der beiden Vektoren

und .

Rechnerisch erhält man den Summenvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren addiert:

Eine Addition von Vektoren mit unterschiedlicher Dimension ist nicht definiert.

Der Differenzvektor

Die Differenz

zweier Vektoren lässt sich zeichnerisch auf ähnliche Weise bestimmen, indem man den Gegenvektor des zweiten Vektors zum ersten Vektor addiert.

Differenzvektor der beiden Vektoren

und .

Rechnerisch erhält man den Differenzvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren subtrahiert:

Multiplikation von Vektoren¶

Vektoren können entweder mit einer reellen Zahl (einem so genannten „Skalar“) als auch mit anderen Vektoren multipliziert werden.

Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl

Multipliziert man einen Vektor

mit einer reellen Zahl , so ergibt sich ein Vektor, der die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn hat, dessen Betrag jedoch um den Faktor verändert ist.

Diese Form der Vektor-Multiplikation wird oftmals auch „S-Multiplikation“ genannt.

Produkt eines Vektors mit einem Skalar (Faktoren:

beziehungsweise ).

Rechnerisch lässt sich ein Vektor

mit einer reellen Zahl multiplizieren, indem jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird:

Multipliziert man einen Vektor

mit der Zahl , so bleibt er unverändert; es gilt also stets:

Multipliziert man einen Vektor

hingegen mit dem Kehrwert seines Betrags , so erhält man den zugehörigen, auf eine Längeneinheit normierten Vektor :

Zusätzlich gelten bezüglich der Multiplikation von Skalaren mit Vektoren das Assoziativ- und Distributivgesetz:

(10)¶

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

und ist definiert als das Produkt ihrer Beträge und , multipliziert mit dem Cosinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels :

(11)¶

Anschauliche Interpretation eines Skalarprodukts.

Schreibt man die beiden Vektoren

und in Spaltenform, so kann das Skalarprodukt komponentenweise nach folgender Formel berechnet werden:

(12)¶

Das Ergebnis ist ein skalarer Wert, also eine Zahl. Die Bedeutung des Skalarprodukts wird schnell deutlich, wenn man sich einige Sonderfälle betrachtet:

• Stehen die beiden Vektoren

  und
  senkrecht zueinander, so ist
  . Somit ergibt das Skalarprodukt in diesem Fall den Wert Null:

  Mit Hilfe dieser Beziehung kann einerseits leicht gepüeft werden, ob zwei Vektoren

  und
  senkrecht aufeinander stehen. Andererseits kann bei einem Vektor
  mit nur zwei gegebenen Komponenten unter Verwendung der komponentenweisen Darstellung die dritte Komponente so bestimmt werden, dass der Vektor auf dem zweiten Vektor
  senkrecht steht.

  Beispiel:

  Die dritte Komponente des Vektors

  soll so bestimmt werden, dass er auf dem Vektor

  senkrecht steht. Somit muss gelten:

  Ist die gesuchte Komponente somit gleich

  , so stehen beide Vektoren senkrecht aufeinander.

• Stehen die beiden Vektoren

  und
  parallel zueinander, so ist
  . Das Skalarprodukt ist in diesem Fall gleich dem Produkt der Beträge beider Vektoren.

  Dieser Zusammenhang wurde implizit bereits verwendet, um den Betrag eines bestimmten Vektors

  zu berechnen. Setzt man nämlich
  , so gilt:

  Der Betrag

  des Vektors kann somit bestimmt werden, indem man das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst bildet und aus dem Ergebnis die Quadratwurzel zieht. Schreibt man die obige Gleichung komponentenweise, so erhält man die übliche Betrags-Gleichung (2).

• Für beliebige Winkel

  lässt sich das Produkt
  geometrisch als „Projektion“ des Vektors
  auf den Vektor
  deuten. Die Projektion entspricht dabei anschaulich dem „Schattenwurf“ des Vektors
  , der sich bei einer senkrecht auf
  einfallenden Beleuchtung ergeben würde.

  Der Wert des Skalarprodukts ist damit im Allgemeinen gleich dem Betrag des ersten Vektors, multipliziert mit der senkrechten Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.

Da das Skalarprodukt komponentenweise einfach zu berechnen ist, kann es auch genutzt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren oder einem Vektor und einer der Achsen eines (kartesischen) Koordinatensystems zu berechnen. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt nämlich aufgrund von Gleichung (11):

Um den Winkel zu berechnen, muss man somit nur das Skalarprodukt berechnen und dieses durch das Produkt beider Vektor-Beträge dividieren; der Arcus-Cosinus dieses Werts ergibt den gesuchten Winkel.

Um den Winkel zwischen eines Vektors und den einzelnen Raumachsen zu berechnen, kann man diese ebenfalls durch Vektoren der Länge

und mit je nur einer einzigen Vektorkomponente dargestellt werden kann, beispielsweise die -Achse durch den Vektor . Man erhält damit:

Gleiches gilt auch für die Skalarprodukte von

mit den beiden anderen Raumachsen. Die allgemeine Formel (11) des Skalarprodukts kann damit nach dem gesuchten Winkel aufgelöst werden:

Setzt man

und in die obige Gleichung ein, so folgt:[2]

Für die Winkel

zwischen und den -Achsen gilt somit:

(13)¶

Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier Vektoren

und ergibt einen Vektor, der auf jedem der beiden Vektoren und senkrecht steht. Diese Definition ist erst ab einem dreidimensionalen Raum sinnvoll.

Anschauliche Interpretation eines Vektorprodukts.

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren

und ist gleich dem Produkt ihrer Beträge und , multipliziert mit dem Sinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels :

(14)¶

Schreibt man die beiden Vektoren

und in Spaltenform, so kann das Vektorprodukt komponentenweise nach folgender Formel berechnet werden:

(15)¶

Das Vektorprodukt findet Anwendung in der analytischen Geometrie und in der Technik. Beispielsweise kann zu zwei gegebenen Richtungsvektoren, die eine Ebene beschreiben, mit Hilfe des Vektorprodukts ein dritter „Normvektor“ gefunden werden, der auf der Ebene senkrecht steht. In der Physik wird das Vektorprodukt beispielsweise bei der Berechnung von Drehmomenten und Drehimpulsen genutzt.

Anmerkungen:

[1]	Vektoreigenschaften lassen sich so verallgemeinern, dass in der algebraischen Geometrie allgemein auch Vektoren mit Dimensionen behandelt werden können.

[2]	Der Betrag des Vektors ist gleich Eins, da gilt.

Wann stehen 2 Vektoren senkrecht aufeinander?

Sind zwei gleiche Vektoren kollinear?

Welche Beziehung haben zwei Vektoren wenn sie in der Richtung übereinstimmen aber eine andere Orientierung haben?

Wann sind zwei Vektoren kollinear?