Auch im Alltag lassen sich Brüche finden. So sagen wir zum Beispiel „ein halbes Brot“ oder „eine halbe Stunde“, was beides den Bruch \( \dfrac{1}{2} \) darstellt.
Weitere Beispiele aus dem Alltag wären:
- Eine halbe Torte: \( \frac{1}{2} \) („ein halb“).
- Die Apfelschorle besteht zu \( \frac{4}{5} \) („vier fünftel“) aus Apfelsaft.
- Eine Dreiviertelstunde ist vorbei: \( \frac{3}{4} \) („drei viertel“) Stunde.
Brüche anschaulich
Wir können uns einen Bruch wie \( \dfrac{1}{4} \) auch grafisch vorstellen.
Hierzu teilen wir ein Objekt in 4 gleich große Stücke auf und markieren anschließend 1 davon.
Zum Beispiel können wir eine Pizza in 4 gleich große Stücke schneiden und markieren dann 1 Stück davon:
„1 von 4“ Stück Pizza ist als Bruch \( \dfrac{ \color{#00F}{1} }{ \color{#F00}{4} } \).
Nehmen wir uns die genannten Beispiele aus dem Alltag und zeigen auf, wie hier aufgeteilt wurde. Hier müssen wir jeweils das gegebene Objekt in die genannte Anzahl an gleich großen Teilen zerlegen und die gegebene Anzahl auswählen.
- Eine halbe Torte.
\( \dfrac{ \color{#00F}{1} }{2} \) → Zerlege das Objekt (die Torte) in 2 gleich große Teile und markiere 1 davon. - Die Apfelschorle besteht zu \( \frac{4}{5} \) aus Apfelsaft.
\( \dfrac{ \color{#00F}{4} }{5} \) → Zerlege das Objekt (die Apfelschorle) in 5 gleich große Teile und markiere 4 davon. - Eine Dreiviertelstunde.
\( \dfrac{ \color{#00F}{3} }{4} \) → Zerlege das Objekt (die Stunde) in 4 gleich große Teile und markiere 3 davon.
Was ist ein Bruch?
Wir können einen Bruch wie folgt beschreiben:
Ein Bruch gibt an, in wie viele Teile ein Objekt zerlegt wurde und wie viele Teile davon ausgewählt sind.
- \( \dfrac{ \color{#00F}{1} }{2} \) bedeutet 1 Teil von 2 Teilen.
- \( \dfrac{ \color{#00F}{1} }{4} \) bedeutet 1 Teil von 4 Teilen.
- \( \dfrac{ \color{#00F}{2} }{15} \) bedeutet 2 Teile von 15 Teilen.
Dabei legen wir fest, welches Objekt als Ganzes gilt und in wie viele Teile es zerlegt werden soll.
Eine Pizza kann halbiert werden, dann ist eine Hälfte der Pizza \( \dfrac{1}{2} \) (1 von 2 Teilen).
Eine Pizza kann geviertelt werden, dann ist ein Viertel der Pizza \( \dfrac{1}{4} \) (1 von 4 Teilen).
Eine Pizza kann geachtelt werden, dann ist ein Achtel der Pizza \( \dfrac{1}{8} \) (1 von 8 Teilen).
Namen von Brüchen
Brüche spricht man wie folgt aus:
- \( \dfrac{1}{2} \) → „ein Halb“
- \( \dfrac{1}{3} \) → „ein Drittel“
- \( \dfrac{1}{4} \) → „ein Viertel“
- \( \dfrac{1}{5} \) → „ein Fünftel“
- \( \dfrac{1}{6} \) → „ein Sechstel“
- \( \dfrac{1}{7} \) → „ein Siebentel“
- \( \dfrac{1}{8} \) → „ein Achtel“
- \( \dfrac{1}{9} \) → „ein Neuntel“
- \( \dfrac{1}{10} \) → „ein Zehntel“
- und so weiter.
Video
Einführung Brüche, Zähler und Nenner
Einführung Brüche, Zähler und NennerBegriffe: Zähler und Nenner
Es gibt zwei Bezeichnungen beim Bruch:
1. Die Zahl, die oben auf dem Bruchstrich steht, heißt „Zähler“ (sie zählt die gewählten Stücke).
2. Die Zahl, die unter dem Bruchstrich steht, heißt „Nenner“ (sie beschreibt die insgesamt vorhandenen Stücke):
$$ \frac{ \text{Zähler} }{ \text{Nenner} } \rightarrow \text{ Beispiel: } \frac{1}{2}$$
Bei \( \dfrac{ \textcolor{#00F}{1} }{ \textcolor{#F00}{2} } \) bedeutet das:
1 gewähltes Stück („Zähler“)
von insgesamt 2 Stücken („Nenner“).
Bruch als Division und Division als Bruch
Es sei abschließend angemerkt, dass wir jeden Bruch als Division schreiben können. Zum Beispiel:
\( \dfrac{ \color{#00F}{1} }{ \color{#F00}{3} } \) können wir schreiben als 1 : 3.
Dieses Umschreiben ist mit jedem Bruch möglich.
Auch können wir jede Divison als Bruch schreiben.
Nehmen wir als Beispiel 1 : 4. Hier ersetzen wir das Divisionszeichen : mit einem Bruchstrich \( \dfrac{ \phantom{x} }{ \phantom{y} } \) und schreiben danach die 1 oben auf den Bruchstrich und die 4 unten unter den Bruchstrich.
BrücheIn diesem Kapitel schauen wir uns an, was Brüche sind.
Inhaltsverzeichnis
- Brüche im Alltag
- Veranschaulichung
- Schreibweise von Brüchen
- Eigenschaften
- Sprechweise von Brüchen
- Nenner kleiner 100
- Nenner größer 100
Brüche im Alltag
Im täglichen Leben kommen Brüche sehr häufig vor, z. B. bei
Zeitangaben
Wir treffen uns um drei viertel acht.Längenangaben
Das nächste Kino ist einen halben Kilometer entfernt.Volumenangaben
Eine Dose enthält einen drittel Liter.Verhältnisangaben
In einer 5er-Gruppe befinden sich 3 Jungen und 2 Mädchen.
Drei Fünftel der Gruppe sind Jungen, zwei Fünftel sind Mädchen.
Veranschaulichung
Um Brüche graphisch darzustellen, verwendet man häufig Torten.
Beispiel 1
Eine Torte wird in vier gleich große Teile geteilt.
Jedes Tortenstück entspricht dann einem Viertel der Torte.
ein Stück Torte = ein Viertel
zwei Stück Torte = zwei Viertel
drei Stück Torte = drei Viertel
vier Stück Torte = vier Viertel
Jetzt hast du ein klares Bild von einem Bruch: ein Stück Torte.
Etwas mathematischer formuliert, können wir festhalten:
Brüche beschreiben einen Teil eines Ganzen.
Beispiel 2
Ein Stück Torte ist ein Teil einer ganzen Torte.
Schreibweise von Brüchen
Beispiel 3
Eine (= 1) Torte wird in vier (= 4) gleich große Teile geteilt.
Die Größe eines Stücks beträgt $1:4$ (eins geteilt durch vier).
Statt $1:4$ schreiben wir in der Mathematik $\frac{1}{4}$ (ein Viertel).
Um Brüche darzustellen, verwendet man die Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise.
Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise
$$ \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} $$
- Der Nenner steht unterhalb des Bruchstrichs.
Er gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt worden ist. - Der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs
Er gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind.
Beispiel 4
Wir haben schon $\frac{3}{8}$ der Torte gegessen!
Der Nenner gibt an, dass eine Torte in $8$ Teile geteilt worden ist.
Der Zähler gibt an, dass in diesem Fall $3$ Stück Torte gemeint sind.
Merkhilfe
Dass der Zähler oben und der Nenner unten steht, kann man sich folgendermaßen gut merken:
Du läufst einen Turm hoch.
Wenn du OBEN bist, hast du die Treppenstufen GEZÄHLT.
Wenn du UNTEN bist, dann kannst du mir die Stufen NENNEN.
Eigenschaften
Wenn der Zähler gleich Null ist, hat der Bruch den Wert $0$.
Beispiel 5
$$ \frac{0}{5} = 0 $$
Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein.
Zur Erinnerung: Eine Division durch $0$ ist nicht definiert!
Beispiel 6
$1:4$0
Üblicherweise werden für Zähler und Nenner natürliche Zahlen verwendet.
Ein eventuell vorhandenes negatives Vorzeichen wird vor den Bruch gesetzt.
Beispiel 7
$1:4$1
Beispiel 8
$1:4$2
Sind sowohl Zähler als auch Nenner negativ, ist der Bruch positiv.
Beispiel 9
$1:4$3
Ganze Zahlen lassen sich auch als Brüche schreiben.
Beispiel 10
$1:4$4
Beispiel 11
$1:4$5