2sinh gleich e e

Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel im Punkt , wobei für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die -Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole bzw. , in älteren Quellen auch und [1] Die Kurve, die ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte beschreibt, ist ein Kosinus hyperbolicus. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Sinus hyperbolicus

• Kosinus hyperbolicus

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion ().

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinus hyperbolicus (rot) und Kosinus hyperbolicus (blau) für reelle x.

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Uneigentliches Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

Umkehrfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus hyperbolicus bildet bijektiv auf ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall bijektiv auf das Intervall und lässt sich eingeschränkt auf also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

insbesondere gilt für :

und für :

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Potenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt lautet:

Produktentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Multiplikationsformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei . Dann gilt für alle komplexen :

Komplexe Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit gilt:

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit gilt

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung einer Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

löst die Differentialgleichung

Kettenlinie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Rapidität kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch

wobei

eine charakteristische Zeitskala ist. ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus
• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Sine und Hyperbolic Cosine auf MathWorld (engl.)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.