Die adjungierte Matrix (nicht zu verwechseln mit der Adjunkten), hermitesch transponierte Matrix oder transponiert-konjugierte Matrix ist in der Mathematik diejenige
Matrix, die durch Transponierung und Konjugation einer gegebenen komplexen Matrix entsteht. Anschaulich ergibt sich die adjungierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale und anschließende
komplexe Konjugation aller Matrixeinträge. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen entspricht sie der transponierten Matrix. Die Umwandlung einer Matrix in ihre adjungierte Matrix wird Adjungierung der Matrix genannt. Die
Adjungierungsabbildung, die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, ist stets bijektiv, konjugiert linear und selbstinvers. Bezüglich der
Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar, bezüglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen
Antiisomorphismus, das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Adjungierung um. Viele Kenngrößen adjungierter Matrizen, wie Spur, Determinante
und Eigenwerte, sind gerade die komplex Konjugierten der jeweiligen Kenngrößen der Ausgangsmatrizen. In der linearen Algebra wird die adjungierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen eingesetzt. Die adjungierte Matrix ist auch
die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen komplexen Skalarprodukträumen bezüglich der jeweiligen Orthonormalbasen. IstA=(aij)∈Cm×n{\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
eine komplexe
Matrix, dann ist die zugehörige adjungierte MatrixAH∈Cn×m{\displaystyle A^{H}\in \mathbb {C} ^{n\times m}} definiert als wobeiAT{\displaystyle A^{T}} die
transponierte Matrix undA¯{\displaystyle {\bar {A}}} die konjugierte Matrix vonA
{\displaystyle A} sind. Die adjungierte MatrixAH
{\displaystyle A^{H}} ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und
Spalten der AusgangsmatrixA{\displaystyle A} vertauscht
werden und alle Einträge komplex konjugiert werden. Die Reihenfolge, in der transponiert und konjugiert wird, ist dabei unerheblich. Das hochgestellteH{\displaystyle H} in der NotationAH
{\displaystyle A^{H}} steht für den Nachnamen des französischen Mathematikers Charles Hermite. Hermite beschäftigte sich
im Jahr 1855 mit Matrizen, die gleich ihrer Adjungierten sind, sogenannten hermiteschen Matrizen, und zeigte, dass solche Matrizen viele Eigenschaften mit reellen symmetrischen Matrizen gemeinsam haben. Andere Schreibweisen für die adjungierte Matrix
sindadj(A){\displaystyle \operatorname {adj} (A)},A∗{\displaystyle A^{\ast }}
,A+{\displaystyle A^{+}}
undA†{\displaystyle
A^{\dagger }}. Die Notationadj(A){\displaystyle \operatorname {adj} (A)} ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die
Adjunkte verwendet wird. MitA∗{\displaystyle A^{\ast }} wird gelegentlich auch die konjugierte Matrix bezeichnet undA+{\displaystyle A^{+}} steht auch für die
Pseudoinverse. Die NotationA†{\displaystyle A^{\dagger }} wird vor allem in der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik, verwendet. Durch Adjungierung einer(1×3){\displaystyle (1\times 3)}-Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine(3×1){\displaystyle (3\times 1)}-Matrix (ein
Spaltenvektor) und umgekehrt, jeweils mit komplex konjugierten Einträgen: Durch Adjungierung einer
(3×2){\displaystyle (3\times 2)}-Matrix entsteht eine
(2×3){\displaystyle (2\times 3)}-Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix jeweils nach komplexer Konjugation entspricht: Für eine komplexe Matrix mit ausschließlich reellen Einträgen ist die
Adjungierte gerade die Transponierte. Die nachfolgenden Eigenschaften sind direkte Folgerungen aus den entsprechenden Eigenschaften transponierter und konjugierter Matrizen. Für die Adjungierte der Summe zweier MatrizenA,B∈Cm×n{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}} gleicher Größe gilt Allgemein ergibt sich die Summe vonn{\displaystyle n}
MatrizenA1,…,
An∈Cm×n{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {C} ^{m\times n}} gleicher Größe zu Die Adjungierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Adjungierten. Für die Adjungierte des
Produkts einer MatrixA∈Cm×n{\displaystyle
A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} mit einem Skalarc∈
C{\displaystyle c\in \mathbb {C} } gilt Die Adjungierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des konjugierten Skalars mit der adjungierten Matrix. Für die Adjungierte der Adjungierten einer
MatrixA∈Cm×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} gilt Durch zweifache Adjungierung ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix. Für die Adjungierte des Produkts einer MatrixA∈Cm×n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} mit einer Matrix
B∈Cn×l{\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times l}} gilt Allgemein ergibt sich für das Produkt vonn{\displaystyle n}
MatrizenA1,…,An
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} passender Größe Die Adjungierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Adjungierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge. Die Adjungierte einer
regulären MatrixA∈Cn×n{\displaystyle
A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ist ebenfalls stets regulär. Für die Adjungierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei
Die Adjungierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der adjungierten Matrix. Diese Matrix wird
gelegentlich auch mitA−H{\displaystyle A^{-H}} bezeichnet. Exponential und LogarithmusFür das Matrixexponential der Adjungierten einer quadratischen MatrixA∈Cn×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} gilt exp(AH )=(expA)H{\displaystyle \exp(A^{H})=(\exp A)^{H}}.Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Adjungierten einer regulären komplexen Matrix ln(AH)=(lnA)H{\displaystyle \ln(A^{H})=(\ln A)^{H}}.AdjungierungsabbildungDie Abbildung Cm×n→Cn×m,A↦AH {\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times m},\quad A\mapsto A^{H}},die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, besitzt aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten die folgenden Eigenschaften:
BlockmatrizenDie Adjungierte einer Blockmatrix mitr{\displaystyle r} Zeilen- unds{\displaystyle s} Spaltenpartitionen ist durch (A11⋯A1s⋮⋮Ar1⋯Ars )H=(A11H⋯Ar1H⋮⋮A1s H⋯ArsH){\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1s}\\\vdots &&\vdots \\A_{r1}&\cdots &A_{rs}\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}A_{11}^{H}&\cdots &A_{r1}^{H}\\\vdots &&\vdots \\A_{1s}^{H}&\cdots &A_{rs}^{H}\end{pmatrix}}}gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Adjungierung jedes Blocks. RangFür eine MatrixA∈Cm×n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} ist der Rang der adjungierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt rang(AH)=rang(A) {\displaystyle \operatorname {rang} (A^{H})=\operatorname {rang} (A)}.Das Bild der Abbildungx↦Ax{\displaystyle x\mapsto Ax} wird dabei von den Spaltenvektoren vonA{\displaystyle A} aufgespannt, während das Bild der Abbildungx ↦AHx{\displaystyle x\mapsto A^{H}x} von den Zeilenvektoren vonA{\displaystyle A} aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen stets überein. SpurFür eine quadratische MatrixA∈C n×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Spur der Ausgangsmatrix, das heißt spur(AH)=spur(A)¯{\displaystyle \operatorname {spur} (A^{H})={\overline {\operatorname {spur} (A)}}} ,denn die Diagonalelemente der adjungierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein. DeterminanteFür eine quadratische MatrixA∈Cn×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ist die Determinante der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt det(AH)=det(A)¯ {\displaystyle \det(A^{H})={\overline {\det(A)}}}.Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen GruppeSn{\displaystyle S_{n}} läuft undsgn(σ){\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )} das Vorzeichen der Permutationσ{\displaystyle \sigma } bezeichnet. SpektrumFür eine quadratische MatrixA∈Cn×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} stimmt aufgrund der vorstehenden Determinantenformel auch das charakteristische Polynom der adjungierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein, denn χAH(λ)=det(λI−AH)=det((λI−AH)H)¯=det(λ¯I−A )¯=χA(λ¯)¯{\displaystyle \chi _{A^{H}}(\lambda )=\det(\lambda I-A^{H})={\overline {\det((\lambda I-A^{H})^{H})}}={\overline {\det({\bar {\lambda }}I-A)}}={\overline {\chi _{A}({\bar {\lambda }})}}}.Die Eigenwerte vonAH{\displaystyle A^{H}} sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte vonA{\displaystyle A} . NormenDie euklidische Norm eines komplexen Vektorsx∈Cn{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}} ist durch ‖x‖2=xHx{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {x^{H}x}}}gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Adjungierten einer MatrixA∈ Cm×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} gilt ‖AH‖F=‖A‖F{\displaystyle \|A^{H}\|_{F}=\|A\|_{F}} und‖AH‖2=‖A‖2{\displaystyle \|A^{H}\|_{2}=\|A\|_{2}}.Die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Adjungierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung: ‖AH‖∞=‖A‖1{\displaystyle \|A^{H}\|_{\infty }=\|A\|_{1}} und‖AH‖1=‖A‖∞{\displaystyle \|A^{H}\|_{1}=\|A\|_{\infty }}.SkalarprodukteDas Standardskalarprodukt⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } zweier komplexer Vektorenx,y∈C n{\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n}} ist durch ⟨x,y⟩=xHy{\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{H}y}gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine MatrixA∈Cm×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} und ihre Adjungierte die Verschiebungseigenschaft ⟨Ax,y⟩= ⟨x,AHy⟩{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{H}y\rangle }für alle Vektorenx∈C n{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}} und y∈Cm{\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}} auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt imC m{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}} und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt imCn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}. Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen A,B∈Cm×n{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}} gilt ⟨A,B⟩F=spur(AHB)=spur(BAH) =spur(ABH)¯=⟨AH,BH⟩F¯ {\displaystyle \langle A,B\rangle _{F}=\operatorname {spur} (A^{H}B)=\operatorname {spur} (BA^{H})={\overline {\operatorname {spur} (AB^{H})}}={\overline {\langle A^{H},B^{H}\rangle _{F}}}},da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind. Spezielle MatrizenDie adjungierte Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet:
MatrixzerlegungenDie adjungierte Matrix wird auch bei der Schur-Zerlegung einer quadratischen MatrixA∈Cn×n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} in eine unitäre MatrixU∈Cn ×n{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}, eine obere DreiecksmatrixR∈Cn×n{\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{n\times n}} und die Adjungierte vonU {\displaystyle U} sowie bei der Singulärwertzerlegung einer MatrixA∈Cm×n{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} A=UΣ VH{\displaystyle A=U\,\Sigma \,V^{H}}in eine unitäre MatrixU∈Cm×m{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}, eine reelle Diagonalmatrix Σ∈Rm×n{\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}} und die Adjungierte einer unitären MatrixV∈C n×n{\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}} verwendet. Adjungierte AbbildungenSind V{\displaystyle V} undW{\displaystyle W} endlichdimensionale komplexe Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildungf:V→W{\displaystyle f\colon V\to W} zugehörige adjungierte Abbildung f∗:W→V{\displaystyle f^{\ast }\colon W\to V} durch die Beziehung ⟨f(v),w⟩=⟨v,f ∗(w)⟩{\displaystyle \langle f(v),w\rangle =\langle v,f^{\ast }(w)\rangle }für allev∈V{\displaystyle v\in V} undw∈W{\displaystyle w\in W} charakterisiert. Ist weiter{v 1,…,vm}{\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}} eine Orthonormalbasis vonV{\displaystyle V},{w1,…,wn }{\displaystyle \{w_{1},\ldots ,w_{n}\}} eine Orthonormalbasis vonW{\displaystyle W} undAf∈Cn×m{\displaystyle A_{f}\in \mathbb {C} ^{n\times m}} die Abbildungsmatrix vonf{\displaystyle f} bezüglich dieser Basen, dann ist die AbbildungsmatrixAf ∗∈Cm×n{\displaystyle A_{f^{\ast }}\in \mathbb {C} ^{m\times n}} vonf∗{\displaystyle f^{\ast }} bezüglich dieser Basen durch Af ∗=AfH{\displaystyle A_{f^{\ast }}=A_{f}^{H}}gegeben. Die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung ist also gerade die Adjungierte der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung. In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.
 adjungierte, matrix, bijektive, selbstinverse, abbildung, einer, komplexen, matrix, sprache, beobachten, bearbeiten, weitergeleitet, adjungierte, adjungierte, matrix, nicht, verwechseln, adjunkten, hermitesch, transponierte, matrix, oder, transponiert, konjugi. Adjungierte Matrix bijektive selbstinverse Abbildung einer komplexen Matrix Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von Adjungierte Die adjungierte Matrix nicht zu verwechseln mit der Adjunkten hermitesch transponierte Matrix oder transponiert konjugierte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix die durch Transponierung und Konjugation einer gegebenen komplexen Matrix entsteht Anschaulich ergibt sich die adjungierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale und anschliessende komplexe Konjugation aller Matrixeintrage Bei Matrizen mit Eintragen aus den reellen Zahlen entspricht sie der transponierten Matrix Die Umwandlung einer Matrix in ihre adjungierte Matrix wird Adjungierung der Matrix genannt Die Adjungierungsabbildung die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet ist stets bijektiv konjugiert linear und selbstinvers Bezuglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar bezuglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus das heisst die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Adjungierung um Viele Kenngrossen adjungierter Matrizen wie Spur Determinante und Eigenwerte sind gerade die komplex Konjugierten der jeweiligen Kenngrossen der Ausgangsmatrizen In der linearen Algebra wird die adjungierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen eingesetzt Die adjungierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen komplexen Skalarproduktraumen bezuglich der jeweiligen Orthonormalbasen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Notation 3 Beispiele 4 Eigenschaften 4 1 Summe 4 2 Skalarmultiplikation 4 3 Zweifache Adjungierung 4 4 Produkt 4 5 Inverse 4 6 Exponential und Logarithmus 4 7 Adjungierungsabbildung 4 8 Blockmatrizen 5 Kenngrossen 5 1 Rang 5 2 Spur 5 3 Determinante 5 4 Spektrum 5 5 Normen 5 6 Skalarprodukte 6 Verwendung 6 1 Spezielle Matrizen 6 2 Matrixzerlegungen 6 3 Adjungierte Abbildungen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst A a i j C m n displaystyle A a ij in mathbb C m times n eine komplexe Matrix A a 11 a 1 n a m 1 a m n displaystyle A begin pmatrix a 11 amp dots amp a 1n vdots amp amp vdots a m1 amp dots amp a mn end pmatrix dann ist die zugehorige adjungierte Matrix A H C n m displaystyle A H in mathbb C n times m definiert als A H A T A T a 11 a m 1 a 1 n a m n displaystyle A H overline A T overline A T begin pmatrix bar a 11 amp dots amp bar a m1 vdots amp amp vdots bar a 1n amp dots amp bar a mn end pmatrix wobei A T displaystyle A T die transponierte Matrix und A displaystyle bar A die konjugierte Matrix von A displaystyle A sind Die adjungierte Matrix A H displaystyle A H ergibt sich also dadurch dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix A displaystyle A vertauscht werden und alle Eintrage komplex konjugiert werden Die Reihenfolge in der transponiert und konjugiert wird ist dabei unerheblich Notation BearbeitenDas hochgestellte H displaystyle H in der Notation A H displaystyle A H steht fur den Nachnamen des franzosischen Mathematikers Charles Hermite Hermite beschaftigte sich im Jahr 1855 mit Matrizen die gleich ihrer Adjungierten sind sogenannten hermiteschen Matrizen und zeigte dass solche Matrizen viele Eigenschaften mit reellen symmetrischen Matrizen gemeinsam haben 1 Andere Schreibweisen fur die adjungierte Matrix sind adj A displaystyle operatorname adj A A displaystyle A ast A displaystyle A und A displaystyle A dagger Die Notation adj A displaystyle operatorname adj A ist jedoch nicht eindeutig da sie auch fur die Adjunkte verwendet wird Mit A displaystyle A ast wird gelegentlich auch die konjugierte Matrix bezeichnet und A displaystyle A steht auch fur die Pseudoinverse Die Notation A displaystyle A dagger wird vor allem in der Physik insbesondere in der Quantenmechanik verwendet Beispiele BearbeitenDurch Adjungierung einer 1 3 displaystyle 1 times 3 Matrix eines Zeilenvektors entsteht eine 3 1 displaystyle 3 times 1 Matrix ein Spaltenvektor und umgekehrt jeweils mit komplex konjugierten Eintragen i 1 i 2 i H i 1 i 2 i 1 2 2 i 3 i H 1 2 2 i 3 i displaystyle begin pmatrix i amp 1 i amp 2 i end pmatrix H begin pmatrix i 1 i 2 i end pmatrix quad begin pmatrix 1 2 2i 3i end pmatrix H begin pmatrix 1 amp 2 2i amp 3i end pmatrix Durch Adjungierung einer 3 2 displaystyle 3 times 2 Matrix entsteht eine 2 3 displaystyle 2 times 3 Matrix bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix jeweils nach komplexer Konjugation entspricht 1 2 i 3 i 4 2 i 5 i 6 i H 1 3 i 5 i 2 i 4 2 i 6 i displaystyle begin pmatrix 1 amp 2 i 3i amp 4 2i 5 i amp 6i end pmatrix H begin pmatrix 1 amp 3i amp 5 i 2 i amp 4 2i amp 6i end pmatrix Fur eine komplexe Matrix mit ausschliesslich reellen Eintragen ist die Adjungierte gerade die Transponierte Eigenschaften BearbeitenDie nachfolgenden Eigenschaften sind direkte Folgerungen aus den entsprechenden Eigenschaften transponierter und konjugierter Matrizen Summe Bearbeiten Fur die Adjungierte der Summe zweier Matrizen A B C m n displaystyle A B in mathbb C m times n gleicher Grosse gilt A B H A H B H displaystyle A B H A H B H Allgemein ergibt sich die Summe von n displaystyle n Matrizen A 1 A n C m n displaystyle A 1 ldots A n in mathbb C m times n gleicher Grosse zu A 1 A 2 A n H A 1 H A 2 H A n H displaystyle A 1 A 2 ldots A n H A 1 H A 2 H ldots A n H Die Adjungierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Adjungierten Skalarmultiplikation Bearbeiten Fur die Adjungierte des Produkts einer Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n mit einem Skalar c C displaystyle c in mathbb C gilt c A H c A H displaystyle c cdot A H bar c cdot A H Die Adjungierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des konjugierten Skalars mit der adjungierten Matrix Zweifache Adjungierung Bearbeiten Fur die Adjungierte der Adjungierten einer Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n gilt A H H A displaystyle left A H right H A Durch zweifache Adjungierung ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix Produkt Bearbeiten Fur die Adjungierte des Produkts einer Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n mit einer Matrix B C n l displaystyle B in mathbb C n times l gilt A B H B H A H displaystyle A cdot B H B H cdot A H Allgemein ergibt sich fur das Produkt von n displaystyle n Matrizen A 1 A n displaystyle A 1 ldots A n passender Grosse A 1 A 2 A n H A n H A 2 H A 1 H displaystyle A 1 cdot A 2 cdot ldots cdot A n H A n H cdot ldots cdot A 2 H cdot A 1 H Die Adjungierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Adjungierten jedoch in umgekehrter Reihenfolge Inverse Bearbeiten Die Adjungierte einer regularen Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n ist ebenfalls stets regular Fur die Adjungierte der Inversen einer regularen Matrix gilt dabei A 1 H A H 1 displaystyle left A 1 right H left A H right 1 Die Adjungierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der adjungierten Matrix Diese Matrix wird gelegentlich auch mit A H displaystyle A H bezeichnet 2 Exponential und Logarithmus Bearbeiten Fur das Matrixexponential der Adjungierten einer quadratischen Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n gilt exp A H exp A H displaystyle exp A H exp A H Entsprechend gilt fur den Matrixlogarithmus der Adjungierten einer regularen komplexen Matrix ln A H ln A H displaystyle ln A H ln A H Adjungierungsabbildung Bearbeiten Die Abbildung C m n C n m A A H displaystyle mathbb C m times n to mathbb C n times m quad A mapsto A H die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet besitzt aufgrund der vorstehenden Gesetzmassigkeiten die folgenden Eigenschaften Die Adjungierungsabbildung ist stets bijektiv konjugiert linear und selbstinvers Zwischen den Matrizenraumen C m n displaystyle mathbb C m times n und C n m displaystyle mathbb C n times m stellt die Adjungierungsabbildung einen Isomorphismus dar In der allgemeinen linearen Gruppe GL n C displaystyle operatorname GL n mathbb C und im Matrizenring C n n displaystyle mathbb C n times n stellt die Adjungierungsabbildung fur m n displaystyle m n einen Antiautomorphismus dar Blockmatrizen Bearbeiten Die Adjungierte einer Blockmatrix mit r displaystyle r Zeilen und s displaystyle s Spaltenpartitionen ist durch A 11 A 1 s A r 1 A r s H A 11 H A r 1 H A 1 s H A r s H displaystyle begin pmatrix A 11 amp cdots amp A 1s vdots amp amp vdots A r1 amp cdots amp A rs end pmatrix H begin pmatrix A 11 H amp cdots amp A r1 H vdots amp amp vdots A 1s H amp cdots amp A rs H end pmatrix gegeben Sie entsteht durch Spiegelung aller Blocke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Adjungierung jedes Blocks Kenngrossen BearbeitenRang Bearbeiten Fur eine Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n ist der Rang der adjungierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix das heisst rang A H rang A displaystyle operatorname rang A H operatorname rang A Das Bild der Abbildung x A x displaystyle x mapsto Ax wird dabei von den Spaltenvektoren von A displaystyle A aufgespannt wahrend das Bild der Abbildung x A H x displaystyle x mapsto A H x von den Zeilenvektoren von A displaystyle A aufgespannt wird Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen stets uberein Spur Bearbeiten Fur eine quadratische Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n ist die Spur die Summe der Hauptdiagonalelemente der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Spur der Ausgangsmatrix das heisst spur A H spur A displaystyle operatorname spur A H overline operatorname spur A denn die Diagonalelemente der adjungierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation uberein Determinante Bearbeiten Fur eine quadratische Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n ist die Determinante der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Determinante der Ausgangsmatrix das heisst det A H det A displaystyle det A H overline det A Dies folgt aus der Leibniz Formel fur Determinanten uber det A s S n sgn s a 1 s 1 a n s n s S n sgn s a s 1 1 a s n n det A H displaystyle det A sum sigma in S n left operatorname sgn sigma a 1 sigma 1 cdots a n sigma n right overline sum sigma in S n left operatorname sgn sigma bar a sigma 1 1 cdots bar a sigma n n right overline det A H wobei die Summe uber alle Permutationen der symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n lauft und sgn s displaystyle operatorname sgn sigma das Vorzeichen der Permutation s displaystyle sigma bezeichnet Spektrum Bearbeiten Fur eine quadratische Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n stimmt aufgrund der vorstehenden Determinantenformel auch das charakteristische Polynom der adjungierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation uberein denn x A H l det l I A H det l I A H H det l I A x A l displaystyle chi A H lambda det lambda I A H overline det lambda I A H H overline det bar lambda I A overline chi A bar lambda Die Eigenwerte von A H displaystyle A H sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von A displaystyle A Normen Bearbeiten Die euklidische Norm eines komplexen Vektors x C n displaystyle x in mathbb C n ist durch x 2 x H x displaystyle x 2 sqrt x H x gegeben Fur die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Adjungierten einer Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n gilt A H F A F displaystyle A H F A F und A H 2 A 2 displaystyle A H 2 A 2 Die Zeilensummen und die Spaltensummennorm der Adjungierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermassen in Beziehung A H A 1 displaystyle A H infty A 1 und A H 1 A displaystyle A H 1 A infty Skalarprodukte Bearbeiten Das Standardskalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle zweier komplexer Vektoren x y C n displaystyle x y in mathbb C n ist durch x y x H y displaystyle langle x y rangle x H y gegeben Bezuglich des Standardskalarprodukts weisen eine Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n und ihre Adjungierte die Verschiebungseigenschaft A x y x A H y displaystyle langle Ax y rangle langle x A H y rangle fur alle Vektoren x C n displaystyle x in mathbb C n und y C m displaystyle y in mathbb C m auf Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im C m displaystyle mathbb C m und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im C n displaystyle mathbb C n Fur das Frobenius Skalarprodukt zweier Matrizen A B C m n displaystyle A B in mathbb C m times n gilt A B F spur A H B spur B A H spur A B H A H B H F displaystyle langle A B rangle F operatorname spur A H B operatorname spur BA H overline operatorname spur AB H overline langle A H B H rangle F da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind Verwendung BearbeitenSpezielle Matrizen Bearbeiten Die adjungierte Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix die gleich ihrer Adjungierten ist das heisst A H A displaystyle A H A Solche Matrizen werden auch als selbstadjungiert bezeichnet Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix die gleich ihrer negativen Adjungierten ist das heisst A H A displaystyle A H A Eine unitare Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist das heisst A H A 1 displaystyle A H A 1 Eine komplexe normale Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix die mit ihrer Adjungierten kommutiert das heisst A H A A A H displaystyle A H A AA H Fur eine beliebige komplexe Matrix sind die beiden Gram Matrizen A H A displaystyle A H A und A A H displaystyle AA H stets hermitesch und positiv semidefinit Eine komplexe Matrix besitzt genau dann ausschliesslich reelle Eintrage wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Transponierten ist das heisst wenn A H A T displaystyle A H A T gilt Matrixzerlegungen Bearbeiten Die adjungierte Matrix wird auch bei der Schur Zerlegung einer quadratischen Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n A U R U H displaystyle A U R U H in eine unitare Matrix U C n n displaystyle U in mathbb C n times n eine obere Dreiecksmatrix R C n n displaystyle R in mathbb C n times n und die Adjungierte von U displaystyle U sowie bei der Singularwertzerlegung einer Matrix A C m n displaystyle A in mathbb C m times n A U S V H displaystyle A U Sigma V H in eine unitare Matrix U C m m displaystyle U in mathbb C m times m eine reelle Diagonalmatrix S R m n displaystyle Sigma in mathbb R m times n und die Adjungierte einer unitaren Matrix V C n n displaystyle V in mathbb C n times n verwendet Adjungierte Abbildungen Bearbeiten Sind V displaystyle V und W displaystyle W endlichdimensionale komplexe Skalarproduktraume dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W zugehorige adjungierte Abbildung f W V displaystyle f ast colon W to V durch die Beziehung f v w v f w displaystyle langle f v w rangle langle v f ast w rangle fur alle v V displaystyle v in V und w W displaystyle w in W charakterisiert Ist weiter v 1 v m displaystyle v 1 ldots v m eine Orthonormalbasis von V displaystyle V w 1 w n displaystyle w 1 ldots w n eine Orthonormalbasis von W displaystyle W und A f C n m displaystyle A f in mathbb C n times m die Abbildungsmatrix von f displaystyle f bezuglich dieser Basen dann ist die Abbildungsmatrix A f C m n displaystyle A f ast in mathbb C m times n von f displaystyle f ast bezuglich dieser Basen durch A f A f H displaystyle A f ast A f H gegeben Die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung ist also gerade die Adjungierte der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilbertraumen verallgemeinert Siehe auch BearbeitenAdjunktion Kategorientheorie Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra Springer 2006 ISBN 3 540 29884 3 Roger A Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 2012 ISBN 0 521 46713 6 Weblinks BearbeitenT S Pogolkina Adjoint matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 978 1 55608 010 4 englisch online Eric W Weisstein Conjugate Transpose In MathWorld englisch koro Conjugate Transpose In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Charles Hermite Remarque sur un theoreme de M Cauchy In Comptes Rendus des Seances de l Academie des Sciences Nr 41 Paris 1855 S 181 183 G W Stewart Matrix Algorithms Volume 1 Basic Decompositions SIAM 1998 S 38 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Adjungierte Matrix amp oldid 210356246, wikipedia, wiki, deutsches deutschlandbuch, bücher, bibliothek artikellesen, herunterladen kostenloskostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele Wann ist eine Matrix Transponierbar?Die transponierte Matrix, gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht.
Was sagt die Adjunkte aus?Man bezeichnet damit die Transponierte der Kofaktormatrix, also die Transponierte jener Matrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Minoren (Unterdeterminanten) sind. Mit Hilfe der Adjunkten kann man die Inverse einer regulären quadratischen Matrix berechnen.
Was ist eine adjunktion?Mit Adjunktion (von lateinisch adiunctio Anknüpfung, Hinzufügung) werden in der Mathematik bezeichnet: in der Algebra die Hinzufügung von Elementen zu einem Ring oder Körper, siehe Adjunktion (Algebra) in der Ringtheorie die Erweiterung eines Rings um ein Einselement, siehe Adjunktion (Einselement)
Was passiert beim transponieren?Transponieren bedeutet nichts anderes als die Veränderung einer Tonart bzw. einer Tonlage in eine andere. Ein Song, Musikstück oder eine Melodie kann nach ihrer Transposition höher oder tiefer erklingen.
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Adjungiert gleich transponiert
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