Das ist das Haus vom Nikolaus Möglichkeiten

Q: Wie macht man das Haus vom Nikolaus und nebenan vom Weihnachtsmann?

Die Lösung für und nebenan vom Weihnachtsmann Ziehen Sie vom letzten Strich, der Diagonale des Hauses vom Nikolaus, einen Strich und bilden damit eine Verbindung von der rechten Ecke des Nikolaus-Hauses zur linken Ecke des Weihnachtsmann-Heimes.

Q: Wie viele Vierecke hat das Haus vom Nikolaus?

Im „Haus vom Nikolaus gibt es 2 Vierecke (Quadrate), das kleinere besteht aus 2 und das größere aus 4 Dreiecken. Das „Haus vom Nikolaus ist symmetrisch.

Ein bekanntes deutsches Kinderrätsel ist das Haus des Nikolaus. Es gilt, ohne den Stift abzusetzen, die folgend abgebildete Figur zu zeichnen:

Inhaltsverzeichnis Show

Der Nikolaus in Königsberg
Wie macht man das Haus vom Nikolaus und nebenan vom Weihnachtsmann?
Wie viele Vierecke hat das Haus vom Nikolaus?
Wie viele Dreiecke hat das Haus vom Nikolaus?
Wo ist Nikolaus Haus?

Hier eine animierte Version mit der Lösung:

Als ich Student an der Universität war, sass ich eines Tages neben einem anderen Studenten in der Vorlesung, der tief in eine Zeichnung vertieft war, und sie immer wieder verwarf. Auf Nachfrage zeigte er mir dieses Rätsel — „Das doppelte Haus des Nikolaus”.

Die Regeln sind die selben wie beim normalen Haus des Nikolaus, doch anstelle von nur einem Haus, sind zwei benachbarte Häuser zu zeichnen, deren angrenzende Wände zu einer gemeinsamen Linie verschmelzen.

Im einfachen Haus des Nikolaus kann man nun sehen, dass Start- und Endpunkt der durchgehenden Linie nur die untersten beiden Ecken sein können, denn nur diese Punkte haben eine ungerade Zahl anschliessender Linien.

Das doppelte Haus des Nikolaus hat vier Verbindungspunkte mit ungeradem Grad. Nur zwei dieser Punkte können die Rolle des Start- und des Endpunktes einnehmen, also müssen die Verbindungslinien der anderen Punkte alle „im Vorbeikommen” gezeichnet werden. Dann hätten diese allerdings eine gerade Anzahl von anschliessenden Linien, das heisst wir können die anderen Punkte mit ungeradem Grad so nicht mehr zeichnen.

Der Nikolaus in Königsberg

Die Problemstellung des Ablaufens solcher Kreise ist auch als Königsberger Brückenproblem bekannt. Leonhard Euler stellte die selbe Überlegung an, um herauszufinden, ob man in der Stadt Königsberg einen Rundgang über alle Brücken unternehmen kann, ohne eine Brücke doppelt zu überqueren.

Leider war das in Königsberg 1736 nicht möglich, aber durch Krieg und Umbauten hat sich die Brückensituation inzwischen hinreichend geändert, dass man zumindest alle Brücken ohne Wiederholung ablaufen kann (allerdings kommt man nicht wieder am Ursprungsort raus).

Alle Zahlenfolgen beginnen mit 1 und enden mit 2. Folglich gibt es aus Symmetriegründen auch 44 Häuser, die in 2 beginnen und in 1 enden. Sie sollten deshalb nicht als neue Lösungen angesehen werden.

Alle Häuser beginnen unten
In den Punkten 1 und 2 stoßen drei Strecken aufeinander, in 3 und 4 vier Strecken, in 5 zwei Strecken.
Die Punkte 3 und 4 müssen demnach zweimal Durchlaufstation sein, 5 einmal. In 1 und 2 ist eine Durchlaufstation und eine Endstelle. Also müssen in 1 und 2 die Streckenzüge beginnen oder enden.
Beginnt man an der Spitze in 5, so müsste man auch in 5 enden. Das ist nicht möglich wegen der ungeraden Streckenzahl in 1 und 2.

Eulerweg top
Das "Haus des Nikolaus" ist viel mehr als ein simples Kinderspiel. Das zeigen die folgenden Ausführungen.
Es geht aus historischen Gründen zuerst um das Königsberger Brückenproblem (Königsberg liegt an der Pregel, war vor 1945 die Hauptstadt Ostpreußens, gehört heute zu Russland und heißt jetzt Kalingrad). Leonhard Euler (1707-1783) hat sich mit diesem Problem beschäftigt und dabei den (heute so genannten) Eulerschen Satz aufgestellt.

...

...Das Problem besteht darin, dass man bei einem Rundweg durch Königsberg alle sieben Brücken genau einmal überschreiten soll. Ist das möglich?

Die Örtlichkeiten kann man zu einem Graphen aus vier Punkten mit verbindenden Wegen vereinfachen.

Euler behauptete, dass ein Rundgang vom Startpunkt und wieder zurück zum Startpunkt wegen der ungeraden Anzahl von Wegen, die von den Punkten ausgehen, nicht möglich ist. Nur wenn von jedem Kreuzungspunkt aus eine gerade Anzahl von Wegen zusammenläuft, ist ein Rundweg, bei dem jeder Weg nur einmal genommen wird, möglich. Das ist der Inhalt des eulerschen Satzes. Ein Rundweg dieser Art heißt Eulerkreis. Ist der Weg nicht geschlossen, so spricht man vom Eulerweg.
Das Königsberger Brückenproblem ist sozusagen die Keimzelle eines neuen Zweiges der Mathematik geworden, der Graphentheorie als Teil der Diskreten Mathematik....

...In der Fachsprache der Graphentheorie besteht das "Haus des Nikolaus" aus fünf Knoten, die durch Kanten verbunden sind. Der Graph ist planar, da die Kanten so gezeichnet werden können, dass sie sich nicht kreuzen (Bild). Er ist nicht vollständig, da nicht alle Knoten durch Kanten verbunden sind. Jeder Knoten hat einen Knotengrad. Das ist die Anzahl der Kanten, die an einem Knoten zusammentreffen. Nach dem eulerschen Satz ist es nicht möglich ist, einen Rundgang über alle Kanten zu machen, da die unteren Punkte des Hauses den Grad 3 haben. Es gibt keinen Eulerkreis.
Wenn man aber unten in einem Punkt beginnt, kann man alle Kanten einmal begehen und endet im Punkt unten auf der anderen Seite. Ein Eulerweg ist möglich.

Hamiltonweg top
Es gibt ein zweites Problem, mit dem sich Euler beschäftigt hat. Es geht nicht um Kanten, die einmal durchlaufen werden sollen, sondern um Punkte, die nur einmal passiert werden dürfen. Diese Wege heißen Hamiltonwege. Ist der Weg geschlossen, spricht man vom Hamiltonkreis.
Es gibt ein berühmtes Problem mit dem Hamiltonkreis, die Springertour.

Der Springer soll sich auf einem Schachbrett so bewegen, dass er jedes Feld nur einmal passiert und dass er zum Startpunkt zurückkehrt.
In der Sprache der Graphentheorie wird jetzt ein Weg gesucht, bei dem jeder Knotenpunkt (das sind die Mittelpunkte der Quadrate) genau einmal durchlaufen wird. Die Hamiltonwege benutzen immer zwei Kanten, die an einem Knoten zusammen kommen.
Es gibt übrigens zum Springerproblem Tausende von Wegen und eigentlich sind alle Hamiltonkreise sehr ansehnlich. Da alle Kanten vom Grade 2 sind, handelt es sich auch um einen Eulerkreis.
Links ist eine Lösung von Euler.

Weitere Figuren top

...

....Oben werden zwei Häuser getrennt gezeichnet. Man kann in der Mitte eine Wand weglassen. Der Spruch lautet dann: "Das ist das Haus vom Ni-ko-laus, ne-ben-an vom Weih-nachts-mann". In dieser Ausführung ist die Figur nicht lösbar. Es gibt vier Knoten mit ungeradem Grad.
Deshalb ist kein Weg einmal durch alle Kanten möglich.
Lässt man die gemeinsame Wand weg, wird das Doppelhaus wieder lösbar.

Man stellt fest (das Internet macht diese Feststellung möglich), dass im englischen Sprachbereich das Haus des Nikolaus ziemlich unbekannt ist. Man findet es manchmal als "envelope". Man betrachtet stattdessen Figuren, die Eulerkreise zulassen.
Hier einige Beispiele:

...

...Die Suche nach Eulerkreisen wird leichter, wenn man die Figuren schwarzweiß färbt.
Das zeigt die Lösung des Drei-Quadrate-Problems von Lewis Carrol.

Euler- und Hamiltonwege gibt es auch bei manchen Körpern.
Als Beispiel kann das Oktaeder dienen, bei dem an einer Ecke immer vier Kanten zusammentreffen.
Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht die Oktaeder auch dreidimensional.

Hamiltonkreis

Beim Hamiltonkreis sollte man an einen Angestellten eines Paketzustelldienstes denken, der nacheinander seinen Kunden (=Knoten) die Pakete ausliefert...................

Eulerkreis

Beim Eulerkreis bietet sich zur Veranschaulichung ein Briefträger an, der jeden Tag bestimmte Straßen (=Kanten) abgeht, um die Post zuzustellen.

Zugabe: Kuboktaeder und quadratisches Antiprisma

Figuren aus einem (geschlossenen) Linienzug top

1. Beispiel: top

.........

..............In der Mathematik und Physik sind Lissajous-Figuren Beispiele für berechnete Linien ohne Anfang und Ende.
Mehr Linien dieser Art findet man in meinen Webseiten "Eilinien" und "Spirograph".

2.Beispiel: top
Die Werbung lässt sich diese Spielerei nicht entgehen. (Danke, Redzep)

Er liegt in Bodenheim.

3.Beispiel: top
Im Bereich der Kunst wird man fündig.
Da wären der Hund und die Friedenstaube-Bilder von Picasso, wobei dieser sich durch das Prinzip der geschlossenen Linie nicht einengen ließ.

Es gibt auch Beispiele von Paul Klee:
Drohender Schneesturm (1927), Kleiner Narr in Trance (1927),
Altes Fräulein (1931) (entstanden aus einem sich abwickelnden Faden)
Mit Rücksicht auf das Copyright verzichte ich auf eine Darstellung.

Drei alte Schreibspiele top
Häuser
Dieses ist ein Schreibspiel für ältere Kindergartenkinder, genannt "Häuser".

...

...Zu Beginn werden 10 Häuser auf einem Blatt DIN-A4 Papier verteilt. Sie werden als Kreise mit Nummern dargestellt. Die Mitspieler müssen der Reihe nach die Häuser durch Wege verbinden. Die Wege dürfen aber nicht die schon gezeichneten Wege berühren oder gar kreuzen. Für jede Berührung gibt es einen Strafpunkt. Findet doch eine Berührung statt, so dürfen die nachfolgenden Spieler die Kreuzungen überqueren und erhalten keine Strafpunkte.

Die nebenstehende Zeichnung zeigt, dass die Spieler schon etwas älter sind, denn es sind schon Schikanen in Form von Spiralen eingebaut.

Wie macht man das Haus vom Nikolaus und nebenan vom Weihnachtsmann?

Die Lösung für "und nebenan vom Weihnachtsmann" Ziehen Sie vom letzten Strich, der Diagonale des Hauses vom Nikolaus, einen Strich und bilden damit eine Verbindung von der rechten Ecke des Nikolaus-Hauses zur linken Ecke des Weihnachtsmann-Heimes.

Wie viele Vierecke hat das Haus vom Nikolaus?

Im „Haus vom Nikolaus“ gibt es 2 Vierecke (Quadrate), das kleinere besteht aus 2 und das größere aus 4 Dreiecken. Das „Haus vom Nikolaus“ ist symmetrisch.

Wie viele Dreiecke hat das Haus vom Nikolaus?

Das ist das Haus vom Ni-ko-laus und ne-ben-an vom Weih-nachts-mann. Im Haus vom Nikolaus kann man verschiedene Dreiecke und Vier- ecke finden. a) Male in Haus 1 und 2 jeweils ein Quadrat blau an. b) Male in Haus 3 und 4 jeweils ein Viereck grün an, das kein Rechteck ist.