Was ist der grafische Zusammenhang zwischen einer differenzierbaren Funktion und einer Ableitungsfunktion?

Q: Was ist der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an. Bezeichnet wird sie zumeist mit f ′ ( x ) f(x) f′(x). Ist f ′ ( x 0 ) > 0 f(x_0)>0 f′(x0)>0, so steigt der Graph von f an der Stelle x 0 x_0 x0.

Video von Galina Schlundt3:43

Besteht ein graphischer Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung? Tatsächlich lassen sich aus beiden Kurven viele Informationen gewinnen, unter anderem über das Verhalten der Kurven sowie spezielle Punkte wie zum Beispiel Extrema.

Was Sie benötigen:

Grundkenntisse Funktionen, Graphen und Ableitungen

Funktion und Ableitung - das sollten Sie wissen

In den ersten Stunden der Analysis lernen Sie den Begriff der Ableitung zu einer Funktion y = f(x) kennen. Diese wird meistens mit f'(x) bezeichnet und kann nach bestimmten Ableitregeln berechnet werden.
Was jedoch sagt die Ableitung einer Funktion überhaupt aus? Zunächst einmal gibt sie Auskunft über die Steigung der Funktion, beispielsweise in einem bestimmten, herausgegriffenen Punkt P. Setzen Sie die x-Koordinate dieses Punktes in die Ableitung ein, so berechnen Sie die Steigung der Funktion in diesem Punkt. Zugleich ist dies die Steigung einer dort angelegten Tangente.
Diese Steigung kann positiv (Funktion steigt an), negativ (Funktion fällt dort ab), aber auch null sein (Funktion hat dort ein lokales Extremum).
Mit anderen Worten: Die Ableitung gibt einen Überblick darüber, wie sich eine Funktion in ihren einzelnen Punkten verhält und ermöglicht es gleichzeitig, (lokale) Extrema, also Hoch- bzw. Tiefpunkte, zu berechnen, was Sie in der sog. Kurvendiskussion ja dann auch machen.

Graphischer Zusammenhang - so sieht es in einem Koordinatensystem aus

Die genannten Sachverhalte zeigen sich natürlich auch in einem Koordinatensystem als graphischer Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitung.

Eine typische Aufgabe aus dem Mathematikunterricht: Sie sollen zu einer vorgegebenen Funktion die …

Wenn Sie die Funktion f(x) und ihre dazugehörige Ableitung f'(x) graphisch darstellen, also beispielsweise mithilfe einer Wertetabelle in ein passendes Koordinatensystem einzeichnen, werden Sie den Zusammenhang der beiden Funktionen ersehen können:
An den Stellen, an denen die Ausgangsfunktion f(x) Extrema hat, liegen die Nullstellen der Ableitung, schneiden also die x-Achse.
Steigt die Funktion f(x), dann ist in diesem Bereich die Ableitung f'(x) positiv, liegt also oberhalb der x-Achse.
Fällt die Funktion f(x), dann liegt die Ableitung f'(x) unterhalb der x-Achse, ist also negativ.
Ein besonderer Punkt ist noch der Wendepunkt einer Funktion, eine Stelle zwischen zwei unterschiedlichen Extrema. Dort verändert sich die Krümmung der Kurve (von links nach rechts oder umgekehrt). Die Ableitung f'(x) hat bei graphischer Darstellung hier ein Extremum, also einen Hoch- oder Tiefpunkt. Und die zweite Ableitung f''(x) hat dort entsprechend eine Nullstelle. Dies ist übrigens auch die Bedingung zur Berechnung eines (möglichen) Wendepunktes in einer Kurvendiskussion.

Weiterlesen:

Ableitungen zeichnen - so gehen Sie vor
Steigung von Parabeln ablesen
Ableitung e hoch minus x - so geht`s
Extrema berechnen - so wird's bei Polynomen gemacht
Übersicht: Alles zum Thema Ableitungen

Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel?

Redaktionstipp: Hilfreiche Videos

Ableitung einfach erklärt

Die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) gibt die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt an. Du unterscheidest drei Fälle:

Ableitung positivf'(x) > 0 → Funktion steigt
Ableitung negativf'(x) < 0 → Funktion fällt
Ableitung nullf'(x) = 0 → Funktion hat einen Extrempunkt(Hochpunkt oder Tiefpunkt) oder einen Sattelpunkt

direkt ins Video springen

Ableitung einer Funktion

Das siehst du gut am Beispiel f(x) = x3 – 3x. Die Ableitung davon ist f'(x) = 3x2 – 3.

An x = -1,5 steigtdie Funktion → f'(-1,5) = 3,75 > 0
An x = 0,5 fälltdie Funktion → f'(0,5) = -2,25 < 0
An x = 1 hat die Funktion einen Tiefpunkt→ f'(1) = 0

Du brauchst Ableitungen in Mathe vor allem bei der Kurvendiskussion, um auszurechnen, wo die Extremstellen einer Funktion liegen.

Graphische Ableitung

Du kannst von Funktionen die Ableitung bilden, ohne dabei zu rechnen. Das nennst du graphische Ableitungen. Dabei schaust du dir den Graphen deiner Funktion f(x) an und zeichnest daraus den Graphen der Ableitung f'(x). Das machst du so:

Die Extremstellen (E)der Funktion werden die Nullstellen (N) der Ableitung (hier: -1 und 1)
Die Wendestellen (W) der Funktion werden die Extremstellen (E)der Ableitung (hier: 0)

direkt ins Video springen

Graphische Ableitung

Die so entstandenen Nullstellen und Extrempunkte verbindest du dann zu einer Kurve — dem Graphen deiner Ableitung.

Du kannst dir graphische Ableitungen mithilfe einer Tabelle und der Eselsbrücke „NEW“ ganz leicht merken. Für die Nullstellen N, die Extremstellen E und die Wendestellen W gilt:

Punkte, die in der Tabelle übereinander stehen, sind jeweils gleich. Du siehst also, dass die Extremstellender Funktion gleich den Nullstellender Ableitung sind. Ebenso sind die Wendestellender Funktion die Extremstellender Ableitung.

Merke: erste Ableitung

Die erste Ableitung gibt die Steigung des Graphen von f(x) an einem Punkt an. Mit der Ableitung kannst du also an jeder Stelle x die Steigung der Funktion ermitteln. Wenn du einen x-Wert (z.B. x = 5) in die erste Ableitung einsetzt, erhältst du die Steigung der Funktion in diesem Punkt.

Expertenwissen: Was ist die Ableitung?

Du weißt jetzt schon, dass die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. Aber was bedeutet Steigung eigentlich?

Mit „Steigung in einem Punkt“ meinst du immer die Steigung der Tangente. Das ist eine Gerade, die den Graphen in dem Punktberührt. Hier siehst du zum Beispiel die Tangente an der Stelle x = 1. Ihre Steigung ist dann gleich der Steigung der Funktion an der Stelle x = 1.

direkt ins Video springen

Tangente an einen Graphen

Aber wie kannst du die Tangentensteigung ermitteln? Schau dir das in nur 2 Schritten an:

Schritt 1: Berechne die Steigung einer Sekante

Eine Sekanteist eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet:

Einer davon ist der Punkt, in dem du die Ableitung berechnen willst. Du kannst ihn allgemein P(x0|y0) nennen.
Der andere Punkt liegt zum Beispiel weiter rechts. Nenn ihn einfach mal Q(x|y).

direkt ins Video springen

Sekante durch einen Graphen

Die Sekante ist eine Gerade. Um ihre Steigung m zu berechnen , teilst du den Abstand der y-Werte der beiden Punkte durch den Abstand der x-Werte (Steigungsdreieck ):

Hier hast du verwendet, dass du y auch als f(x) schreiben kannst. Du nennst den Bruch auch Differenzenquotient .

Schritt 2: Berechne die Steigung der Tangente

Jetzt willst du von der Sekante zu einer Tangente an der Stelle x0 kommen. Dazu verkleinerst du den Abstand zwischen x und x0 immer weiter.

direkt ins Video springen

Von der Tangente zur Sekante

Mathematisch schreibst du dafür den Limes (Grenzwert ) von x gegen x0:

Dein Ergebnis ist dann die Tangentensteigung an x0, also die Ableitung an x0:

Du sprichst auch vom Differentialquotienten .

Differenzierbarkeit

Es gibt Funktionen, die nicht überall eine Ableitung haben. Die Funktion f(x) = |x| hat zum Beispiel einen Knick an der 0 und hat deshalb an diesem Punkt keine Ableitung. Bei Funktionen ohne Knicke kannst überall die Ableitung bilden. Du nennst sie differenzierbar.

Höhere Ableitungen und Notation

Von der Ableitung f'(x) einer Funktion kannst du auch nochmal die Ableitung bilden. Du erhältst dann die zweite Ableitung f“(x). Sie gibt die Krümmung der Funktion an. Außerdem kannst du mit zweiten Ableitungen Wendepunkte berechnen.

erste Ableitung: f'(x)
zweite Ableitung: f“(x)

Hier siehst du nochmal die Funktion f(x) = x3 – 3x, ihre erste Ableitung f'(x) = 3x2 – 3 und die zweite Ableitung f“(x) = 6x.

direkt ins Video springen

Erste und zweite Ableitungen

Meistens musst du nur die ersten und zweiten Ableitungen berechnen. Es gibt aber noch höhere Ableitungen:

dritte Ableitung: f“'(x)
vierte Ableitung: f(4)(x)
…
n-te Ableitung: f(n)(x)

Du siehst, dass du ab der vierten Ableitung nicht mehr die Striche hinter dem f verwendest. Stattdessen gibst du in Klammern die Anzahl der Ableitung an.

Übrigens:Anstatt f'(x) kannst du auch

schreiben (sprich: d f nach d x). Das

gibt hier an, dass x die Variable ist, nach der du f ableitest. Das ist vor allem dann wichtig, wenn es mehrere Variablen gibt. In der Physik willst du außerdem oft nach der Zeit t ableiten. Dann schreibst du

oder auch

Ableitungen und Integral

Das Integral (bzw. die Stammfunktion) ist die „Gegenrichtung“ zur Ableitung. Wenn du eine Funktion erst ableitest und dann integrierst, kommt wieder die ursprüngliche Funktion heraus (bis auf eine Zahl, die mit + dahinter stehen kann). Diesen Zusammenhang nennst du auch Hauptsatz der Integral – und Differenzialrechnung .

Ableitungsregeln

Um die Ableitung einer Funktion zu berechnen , verwendest du einige Ableitungsregeln , zum Beispiel für Potenzfunktionen xp:
Beispiel: f(x) = x2 + 3x → f'(x) = 2x+ 3

Mit anderen Ableitungsregeln kannst du beispielsweise die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion ableiten.

In der Tabelle siehst du schon mal alle Ableitungsregeln auf einen Blick:

Schau dir die einzelnen Regeln gleich genauer an!

Potenzregel

Mit der Potenzregel kannst du von Funktionen die Ableitung bilden, die nur aus x mit einer Hochzahl bestehen, zum Beispiel x2, x3 und so weiter. Für die Ableitung ziehst du die Hochzahl nach vorne und verringerst dann die Hochzahl um 1:

f(x) = x2 → f'(x) = 2x2–1 = 2x
f(x) = x3 → f'(x) = 2x3–1 = 2x2

Faktor- und Summenregel

Die Faktorregel brauchst du, wenn vor dem x eine Zahl steht, zum Beispiel bei 3x4. Die Zahl lässt du dann einfach stehen und leitest den Rest der Funktion ab:

f(x) = 3x4 → f'(x) = 3 · 4x3

Die Summenregel verwendest du, wenn du eine Summe ableiten sollst, zum Beispiel f(x) = x2 + 3x. Hier leitest du jeden Teil einzeln ab:

f(x) = x2 + 3x → f'(x) = 2x+ 3

Produktregel

Die Produktregel brauchst du, wenn deine Funktion ein Produkt ist (eine Malrechnung).Zum Beispiel hier:

f(x) = x2 • cos(x)

Der erste Faktor des Produkts ist u(x), also hier u(x) = x2, und der zweiten Faktor v(x), also v(x) = cos(x). Mit der Produktregel gilt dann:

f'(x) = u(x) • v'(x) + u'(x) • v(x)

Im Beispiel musst du also zuerst von u und v die Ableitungen berechnen:

u(x) = x2 → u'(x) = 2x
v(x) = cos(x) → v'(x) = -sin(x)

Mit der Produktregel kannst du dann die Ableitung f'(x) aufschreiben:

f'(x) = x2 • -sin(x) + 2x • cos(x)

Das ging dir zu schnell? Dann schau dir hier die Produktregel nochmal in Ruhe an!

Quotientenregel

Mit der Quotientenregel kannst du von Brüchen die Ableitungen berechnen, zum Beispiel:

Der obere Teil (Zähler) heißt g(x), hier also g(x) = x2, und der untere Teil (Nenner) h(x). Hier ist also h(x) = cos(x). Dann ist die Ableitung allgemein:

Im Beispiel musst du also erstmal von g und h die Ableitungen berechnen:

g(x) = x2 → g'(x) = 2x
h(x) = cos(x) → h'(x) = -sin(x)

Wenn du noch mehr zur Quotientenregel erfahren willst, dann schau hier vorbei!

Kettenregel

Die Kettenregel verwendest du, wenn eine Funktion innerhalb einer anderen steht („verkettete“ Funktionen). Schau dir ein Beispiel an:

h(x) = sin(3x + 5)

Die Funktion f(x) = 3x + 5 steht innerhalb der Sinusfunktion. Die äußere Funktion kannst du mit g(y) = sin(y) bezeichnen. Dann ist die Ableitung von h(x):

h'(x) = g‘(f(x)) • f'(x)

Hier ist f(x) = 3x + 5 und g(y) = sin(y). Somit erhältst du f'(x) = 3 und g'(y) = cos(y). Insgesamt ist die Ableitung:

h'(x) = cos(3x + 5) • 3

Schau dir hier noch weitere Beispiele zur Kettenregel an!

Ableitungen wichtiger Funktionen

Die Ableitungen einiger wichtiger Funktionen solltest du am besten auswendig lernen.

Manchmal kommen diese Funktion aber auch in komplizierter Form vor, zum Beispiel e3x + 4 oder ln(x2). Dann kannst du mit der Kettenregel die Ableitungen bilden. Dabei gehst du so vor:

Beispiel 1: f(x) = e3x + 4

Leite die Hochzahl ab: 3x + 4 → 3
Schreibe die e-Funktion ab und multipliziere sie mit der Ableitung der Hochzahl: e3x + 4 → e3x + 4· 3

Und schon hast du die e-Funktion abgeleitet! Das ging dir zu schnell? Dann schau dir unseren extra Beitrag dazu an.

Beispiel 2: f(x) = ln(x2)

Leite den Term im ln ab: x2 → 2x
Schreibe die gesamte Ableitung hin. Sie lautet:

Wie genau das mit der Ableitung vom Logarithmus funktioniert, erfährst du in unserem Beitrag dazu!

Kurvendiskussion

Ableitungen in Mathe brauchst du vor allem für die Kurvendiskussion. Dabei untersuchst du verschiedene Fragen rund um eine Funktion und findest so heraus, wie der Graph einer Funktion aussieht:

Monotonie : Wo steigt und wo fällt die Funktion? → Wo ist die erste Ableitung positiv und wo negativ?
Extremstellen: Wo hat der Graph einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt ? → Wo ist die Ableitung gleich 0?
Krümmungsverhalten : Wo ist die Funktion rechtsgekrümmt und wo linksgekrümmt? → Das findest du mit der zweiten Ableitung heraus.
Wendepunkte : Wo ist die Krümmung 0, also die Steigung der Funktion konstant? → Auch hierfür brauchst du die zweite Ableitung.

Du willst mehr über die Kurvendiskussion erfahren? Dann schau dir unser Video dazu an!

Zum Video: Kurvendiskussion

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Analysis

Was ist der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an. Bezeichnet wird sie zumeist mit f ′ ( x ) f'(x) f′(x). Ist f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f′(x0)>0, so steigt der Graph von f an der Stelle x 0 x_0 x0.

Wie verändert sich der Graph der ableitungsfunktion?

Der Graph der Ableitungsfunktion hat hier eine Nullstelle. Dort, wo der Graph von f einen Wendepunkt hat, besitzt der Graph von f′ einen Extrempunkt. Für einen RL-Wechsel des Graphen von f ist dieser Extrempunkt ein Tiefpunkt. Für einen LR-Wechsel des Graphen von f ist es ein Hochpunkt.

Wie bestimmt man grafisch die Ableitung?

Vorgehen beim grafischen Ableiten Lege eine Tangente an einen Punkt, damit du die Steigung in diesem Punkt bestimmen kannst. Die Tangentensteigung wird zum y-Wert (zur gleichen Stelle x). Die Zuordnung von x- und y-Werten ergibt die Punkte der Ableitungsfunktion.

Was ist grafisches ableiten?

Graphisches Ableiten bedeutet, aus dem gegebenen Graphen einer Funktion den Graphen der Ableitungsfunktion herzuleiten. Das umgekehrte Vorgehen wird graphisches Aufleiten genannt.

ist der grafische zusammenhang zwischen einer differenzierbaren funktion und einer ableitungsfunktion