| ∫xxy1tdt↓ Substitution: (z=tx⟺t=xz)⟹(dzdt=1x⟺dt=xdz) =∫1y1xzxdz =∫1y1zdz =L(y){\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{x}^{xy}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Substitution: }}(z={\frac {t}{x}}\iff t=xz)\Longrightarrow ({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{x}}\iff \mathrm {d} t=x\mathrm {d} z)\right.}\\[0.3em]&\ =\int _{1}^{y}{\frac {1}{xz}}\,x\mathrm {d} z\\[0.3em]&\ =\int _{1}^{y}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z\\[0.3em]&\ =L(y)\end{aligned}}} Dieser Satz wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet. Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen: Show Jetzt hast du schon bewiesen, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für die Integralfunktion gilt. Das ist aber nur eine von vielen Stammfunktionen. Um den Satz allgemein zu zeigen, müssen wir uns den Unterschied zwischen verschiedenen Stammfunktionen anschauen. Eine beliebige Stammfunktion  Es gilt also:
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt also für alle Stammfunktionen. Du bist gerade auf der Suche nach einem dualen Studium oder Ausbildungsplatz? Wir von Studyflix helfen dir weiter. Im Studyflix Ausbildungsportal warten über 30.000 freie Plätze auf dich. Schau doch mal vorbei. Du willst wissen, wofür du das Thema Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lernst? Über das Studyflix Jobportal kannst du dich auf die Suche nach Praxiserfahrung begeben. Hier warten über 20.000 Praktika, Werkstudentenstellen, Einstiegsjobs und auch Abschlussarbeiten auf dich. Schau doch mal vorbei. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück. SatzHauptsatz der Differential- und IntegralrechnungUnter der Voraussetzung, dass F(x)F(x)F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x)f(x)f(x) ist, also F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x), gilt nach dem HDI: ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).\displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).Video zum Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungInhalt wird geladen… HDI in WortenMan kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion fff berechnen, indem man vom Funktionswert F(b)F(b)F(b) einer Stammfunktion von fff an der oberen Integrationsgrenze den Funktionswert F(a)F(a)F(a) dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert. ▸ Warum "einer Stammfunktion"? Weitere Version des HDIDen Hauptsatz der Differentialrechnung gibt es auch noch in einer anderen, äquivalenten Darstellung. Manchmal ist auch folgende Version des HDI nützlich: SatzFür eine stetige Funktion fff ist die Integralfunktion F(x)=∫axf(s)dsF(\textbf{x})=\int_a^\textbf{x}f(s)dsF(x)=∫axf(s)ds eine Stammfunktion zu fff. In Kurzform: In Worten: Die Ableitung der Integralfunktion ist gleich der Integrandenfunktion an der oberen Integrationsgrenze. Hinweis: Mit ddx(⋯ ) wird die Ableitung des Ausdrucks in der Klammer nach x bezeichnet.\displaystyle \small \text{Hinweis: Mit } \frac{d}{dx} (\cdots ) \text{ wird die Ableitung des Ausdrucks in der Klammer nach }x \text{ bezeichnet.}Hinweis: Mit dxd(⋯) wird die Ableitung des Ausdrucks in der Klammer nach x bezeichnet.▸ Warum sind die beiden Versionen äquivalent? Man erkennt an dieser Version recht gut, dass es unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion gibt, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden. Was sagt der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung aus?Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück.
Was ist der Unterschied zwischen Stammfunktion und Integral?eine Stammfunktion ist die Funktion, die sich aus dem unbestimmten Integral der Funktion ergibt, also die Konstante C beinhaltet. Bei einer Integralfunktion ist die untere Grenze a festgelegt, während die obere variabel gelassen wird. Hierdurch wird also ein bestimmtes Integral gebildet.
Wann braucht man Integralrechnung?Die Integralrechnung ist ein Teil der Analysis. Sie wird genutzt, um Flächeninhalte und Volumen zu berechnen, und ist eng verwandt mit der Differentialrechnung. In der Integralrechnung bildest du bestimmte und unbestimmte Integrale. Dazu musst du die Stammfunktion einer Funktion bestimmen.
Was genau ist ein Integral?Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion liefert. Die Integralrechnung steht in engem Zusammenhang mit der Differentialrechnung.
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Was ist der Unterschied zwischen Integral und Differentialrechnung?
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