Wie lese ich eine Exponentialfunktion ab?

Kurvendiskussion - Exponential­funktion

In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer Exponentialfunktion durch.

• Ableitungen
• Definitionsbereich
• Nullstellen
• y-Achsenabschnitt
• Grenzwerte
• Asymptoten
• Symmetrie
• Extrempunkte
• Monotonieverhalten
• Krümmung
• Wendepunkt und Wendetangente
• Wertebereich
• Graph

Gegeben sei die Exponentialfunktion

$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$

Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.

Ableitungen 

Hauptkapitel: Ableitung

Wir berechnen zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.

Um die Ableitungen einer Exponentialfunktion zu berechnen, brauchen wir meist die

Bei unserem Beispiel brauchen wir zusätzlich noch die

Es lohnt sich, zunächst das Kapitel Ableitung e-Funktion zu lesen.

Gegebene Funktion

$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$

1. Ableitung

Anwendung der Produktregel

$$ f'(x) = {\color{red}\left[(x+1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} $$

Dabei gilt:

$$ {\color{red}\left[(x+1)\right]'} = {\color{red}1} $$

$$ {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!} $$

Endergebnis

$$ \begin{align*} f'(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\[5px] &= e^{-x} -(x+1) \cdot e^{-x} \\[5px] &= e^{-x} -[x \cdot e^{-x} + e^{-x}] \\[5px] &= e^{-x} -x \cdot e^{-x} - e^{-x} \\[5px] &= -x \cdot e^{-x} \end{align*} $$

2. Ableitung

Anwendung der Produktregel

$$ f''(x) = {\color{red}\left[-x\right]'} \cdot e^{-x} + \left(- x \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\right) $$

Dabei gilt:

$$ {\color{red}\left[-x\right]'} = {\color{red}-1} $$

$$ {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!} $$

Endergebnis

$$ \begin{align*} f''(x) &= {\color{red}-1} \cdot e^{-x} - x \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\[5px] &= -e^{-x} + x \cdot e^{-x} \\[5px] &= e^{-x} (-1 + x) \\[5px] &= (x-1) \cdot e^{-x} \end{align*} $$

3. Ableitung

Anwendung der Produktregel

$$ f'''(x) = {\color{red}\left[(x-1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} $$

Dabei gilt:

$$ {\color{red}\left[(x-1)\right]'} = {\color{red}1} $$

$$ {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!} $$

Endergebnis

$$ \begin{align*} f'''(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\[5px] &= e^{-x} - (x-1) \cdot e^{-x} \\[5px] &= e^{-x} - [x \cdot e^{-x} - e^{-x}] \\[5px] &= e^{-x} - x \cdot e^{-x} + e^{-x} \\[5px] &= 2e^{-x} - x \cdot e^{-x} \\[5px] &= (2 - x) \cdot e^{-x} \end{align*} $$

Definitionsbereich 

Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
Welche $x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Nullstellen 

Hauptkapitel: Nullstellen berechnen

1) Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ (x+1) \cdot e^{-x} = 0 $$

2) Gleichung lösen

Der Satz vom Nullprodukt besagt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

1. Faktor

$$ \begin{align*} x+1 = 0 &&|\,-1 \\[5px] x &= -1 \end{align*} $$

2. Faktor

$$ e^{-x} = 0 $$

Die Exponentialfunktion selbst besitzt keine Nullstellen!

$\Rightarrow$ Die einzige Nullstelle der Funktion ist $x_1 = -1$.

y-Achsenabschnitt 

Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen

Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.

Wir berechnen also $f(0)$:

$$ f({\color{red}0}) = ({\color{red}0}+1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = 1 $$

(Zur Erinnerung: $e^0 = 1$)

Der $y$-Achsenabschnitt ist bei $y = 1$.

Grenzwerte 

Hauptkapitel: Grenzwerte

Verhalten im Unendlichen

Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen Null:

$$ \lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0 $$

Für sehr kleine Werte strebt die Funktion gegen - unendlich:

$$ \lim_{x\to -\infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = -\infty $$

Asymptoten 

Hauptkapitel: Asymptoten berechnen

Wegen

$$ \lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0 $$

ist $y = 0$ eine waagrechte Asymptote.

Symmetrie 

Hauptkapitel: Symmetrieverhalten

Wir setzen $-x$ in die Funktion

$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$

ein und erhalten:

$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x}+1) \cdot e^{-({\color{red}-x})} = (-x+1) \cdot e^{x} $$

Danach analysieren wir das Ergebnis:

$$ (-x+1) \cdot e^{x} \neq f(x) $$

$$ (-x+1) \cdot e^{x} \neq -f(x) $$

$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

Extrempunkte 

Hauptkapitel: Extremwerte berechnen

1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$ -x \cdot e^{-x}= 0 $$

1.2) Gleichung lösen

Der Satz vom Nullprodukt besagt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

1. Faktor

$$ -x = 0 $$

$$ \Rightarrow x = 0 $$

2. Faktor

$$ e^{-x} = 0 $$

Eine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen.

2) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung

$$ f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x} $$

ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:

$$ f''({\color{red}x_1}) = f''({\color{red}0}) = ({\color{red}0} - 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = -1 \cdot 1 = -1 < 0 $$

Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x_1$ ein Hochpunkt vorliegt.

3) $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Extrempunktes berechnen

Zu guter Letzt müssen wir noch den $y$-Wert des Punktes berechnen. Dazu setzen wir $x_1$ in die ursprüngliche (!) Funktion

$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$

ein und erhalten:

$$ \begin{align*} f({\color{red}x_1}) &= f({\color{red}0}) \\[5px] &= ({\color{red}0} + 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} \\[5px] &= 1 \cdot 1 \\[5px] &= {\color{blue}1} \end{align*} $$

Wir halten fest:

Hochpunkt $H({\color{red}0}|{\color{blue}1})$

Monotonieverhalten 

Hauptkapitel: Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten und den Grenzwertbetrachtungen folgern:

$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;\infty\right[ \\ \hline f'(x) & + & -\\ & \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} \end{array} $$

• Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion bis zum Hochpunkt steigt.
• Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion nach dem Hochpunkt gegen Null strebt.

Krümmung 

Hauptkapitel: Krümmungsverhalten

Wann ist die 2. Ableitung größer Null?

$$ (x-1) \cdot e^{-x} > 0 $$

$e^{-x}$ ist immer größer Null. Deshalb reicht es in diesem Fall, den Term $(x-1)$ zu betrachten:

$$ \begin{align*} x - 1 &> 0 &&|\, +1 \\[5px] x &> 1 \end{align*} $$

$\Rightarrow$ Für $x > 1$ ist der Graph linksgekrümmt.
$\Rightarrow$ Für $x < 1$ ist der Graph rechtsgekrümmt.

Wendepunkt und Wendetangente 

Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente

1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$$ (x-1) \cdot e^{-x} = 0 $$

1.2) Gleichung lösen

Der Satz vom Nullprodukt besagt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

1. Faktor

$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$

2. Faktor

$$ e^{-x} = 0 $$

Der 2. Faktor kann nie Null werden.

2) Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

$$ f'''({\color{red}1}) = (2 - {\color{red}1}) \cdot e^{-{\color{red}1}} \neq 0 $$

Daraus folgt, dass an der Stelle $x = 1$ ein Wendepunkt vorliegt.

3) $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen

Jetzt setzen wir $x = 1$ in die ursprüngliche Funktion

$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$

ein, um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen:

$$ f({\color{red}1}) = ({\color{red}1}+1) \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{blue}\frac{2}{e}} $$

$\Rightarrow$ Der Wendepunkt hat die Koordinaten $\left({\color{red}1}|{\color{blue}\frac{2}{e}}\right)$.

Dabei sind $x_0$ und $y_0$ die Koordinaten des Wendepunktes. $m$ ist die Steigung der Tangente.

Da wir $x_0$ und $y_0$ eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung $m$ ermitteln. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung

$$ f'(x) = -x \cdot e^{-x} $$

ein und erhalten:

$$ m = f'({\color{red}1}) = -{\color{red}1} \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{green}-\frac{1}{e}} $$

Die Gleichung der Wendetangente ist folglich:

$$ t_w\colon\; y ={\color{green}-\frac{1}{e}} \cdot (x - {\color{red}1}) + {\color{blue}\frac{2}{e}} = -\frac{1}{e}x + \frac{3}{e} $$

Wertebereich 

Hauptkapitel: Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
Welche $y$-Werte kann die Funktion annehmen?

Der Wertebereich geht in diesem Fall von - unendlich bis zum Hochpunkt ($y$-Wert!).

Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $\mathbb{W}_f = \left]-\infty;1\right]$

Graph 

Hauptkapitel: Graph zeichnen

Wertetabelle

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & -7{,}38 & -2{,}24 & 0 & 0{,}82 & 1 & 0{,}74 & 0{,}41 & 0{,}20 & 0{,}09 \end{array} $$

Nullstellen

$$ x_1 = -1 $$

Extrempunkte

Hochpunkt $H(0|1)$

Wendepunkte

$$ W(1|\frac{2}{e}) $$

Asymptoten
(in rot)

waagrecht: $y = 0$