Darstellung von Vektoren¶Bei Vektoren handelt es sich aus geometrischer Sicht um Strecken mit einer bestimmten Länge, die sowohl eine bestimmte Richtung, wie auch einen bestimmten Richtungssinn haben; dieser wird in Zeichnungen durch Pfeil am Ende der Strecke hervorgehoben. In der Formelschreibweise werden Vektoren meist mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und durch einen Pfeil über der Vektorgröße markiert. Show
 Darstellung eines Vektors. Je nachdem, ob zwei- oder dreidimensionale geometrische Formen untersucht werden, reicht ein geordnetes Paar aus zwei oder ein Tupel aus drei Koordinatenwerten – also Darstellung eines (dreidimensionalen) Ortsvektors in einem Koordinatensystem. Ein Vektor, dessen Anfangspunkt dem Ursprung des Koordinatensystems Betrag eines Vektors Die Länge der Verbindungsstrecke vom Anfangspunkt eines Vektors Betrag eines (zweidimensionalen) Vektors. Der Betrag eines Vektors kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgendermaßen anhand seiner Komponenten Beispiele:
Identische Vektoren Zwei Vektoren Zwei identische Vektoren. Gegenvektor Das Negative Vektor und Gegenvektor. In der Komponentenschreibweise kann der zu einem Vektor Bei zweidimensionalen Vektoren wird die dritte Komponente Normvektor und Nullvektor Ein Vektor, dessen Länge genau einer Längeneinheit Ein Vektor mit Betrag Null wird als Nullvektor Addition und Subtraktion von Vektoren¶Ein Vektor kann durch Beibehalten seiner Richtung und seines Richtungssinns, also parallel im Raum verschoben werden, ohne dass sich die Werte seiner Komponenten ändern. Dies kann genutzt werden, um zwei Vektoren zeichnerisch zu addieren beziehungsweise subtrahieren. Der Summenvektor Fügt man an einen Vektor Summenvektor der beiden Vektoren Rechnerisch erhält man den Summenvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren addiert: Eine Addition von Vektoren mit unterschiedlicher Dimension ist nicht definiert. Der Differenzvektor Die Differenz Differenzvektor der beiden Vektoren Rechnerisch erhält man den Differenzvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren subtrahiert: Multiplikation von Vektoren¶Vektoren können entweder mit einer reellen Zahl (einem so genannten „Skalar“) als auch mit anderen Vektoren multipliziert werden. Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Multipliziert man einen Vektor Diese Form der Vektor-Multiplikation wird oftmals auch „S-Multiplikation“ genannt. Produkt eines Vektors mit einem Skalar (Faktoren: Rechnerisch lässt sich ein Vektor Multipliziert man einen Vektor Multipliziert man einen Vektor Zusätzlich gelten bezüglich der Multiplikation von Skalaren mit Vektoren das Assoziativ- und Distributivgesetz: (10)¶ Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren (11)¶ Anschauliche Interpretation eines Skalarprodukts. Schreibt man die beiden Vektoren (12)¶ Das Ergebnis ist ein skalarer Wert, also eine Zahl. Die Bedeutung des Skalarprodukts wird schnell deutlich, wenn man sich einige Sonderfälle betrachtet:
Da das Skalarprodukt komponentenweise einfach zu berechnen ist, kann es auch genutzt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren oder einem Vektor und einer der Achsen eines (kartesischen) Koordinatensystems zu berechnen. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt nämlich aufgrund von Gleichung (11): Um den Winkel zu berechnen, muss man somit nur das Skalarprodukt berechnen und dieses durch das Produkt beider Vektor-Beträge dividieren; der Arcus-Cosinus dieses Werts ergibt den gesuchten Winkel. Um den Winkel zwischen eines Vektors und den einzelnen Raumachsen zu berechnen, kann man diese ebenfalls durch Vektoren der Länge Gleiches gilt auch für die Skalarprodukte von Setzt man Für die Winkel (13)¶ Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt zweier Vektoren Anschauliche Interpretation eines Vektorprodukts. Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren (14)¶ Schreibt man die beiden Vektoren (15)¶ Das Vektorprodukt findet Anwendung in der analytischen Geometrie und in der Technik. Beispielsweise kann zu zwei gegebenen Richtungsvektoren, die eine Ebene beschreiben, mit Hilfe des Vektorprodukts ein dritter „Normvektor“ gefunden werden, der auf der Ebene senkrecht steht. In der Physik wird das Vektorprodukt beispielsweise bei der Berechnung von Drehmomenten und Drehimpulsen genutzt. Anmerkungen:
Wann stehen 2 Vektoren senkrecht aufeinander?Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich null ist.
Sind zwei gleiche Vektoren kollinear?Zwei Vektoren (ungleich null), die auf einer Geraden oder auf zwei parallelen Geraden liegen, werden kollineare Vektoren genannt. Zwei kollineare Vektoren können in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Welche Beziehung haben zwei Vektoren wenn sie in der Richtung übereinstimmen aber eine andere Orientierung haben?Zwei Vektoren und werden als gleich betrachte, symbolisch = , wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen. Zwei Vektoren und mit gleicher Richtung (Orientierung) heißen zueinander parallel. Besitzen zwei Vektoren und die entgegengesetzte Richtung (Orientierung), so werden sie als zueinander antiparallel bezeichnet.
Wann sind zwei Vektoren kollinear?Punkte bezeichnet man als kollinear, wenn sie auf ein und derselben Geraden liegen. Zwei (verschiedene) Punkte sind stets kollinear, da sie eindeutig eine Gerade bestimmen. Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.
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