Quadratische Funktion aufstellen mit 3 Punkten

Wir haben für die Variable $a$ unsere vorher herausgefundene Gleichung eingesetzt und lösen jetzt so auf, dass wir den Wert für die Variable $b$ bekommen. Es folgt:

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$-10+4b+2b+4=12$

$6b-6=12$ $|+6$

$6b=18$ $|:6$

$\textcolor{red}{b=3}$

4. Ausgerechnete Variable einsetzen:
Den Wert von $b$ haben wir nun berechnet. Mit ihm berechnen wir den Wert von $a$.

$\textcolor{orange}{a=-2,5+b}$

$a=-2,5+3$

$\textcolor{red}{a=0,5}$

5. Alle Punkte in die Formel einsetzen:

$\textcolor{red}{ c=4}$
$\textcolor{red}{b=3}$
$\textcolor{red}{a=0,5}$

$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x + c$

$f(x) = 0,5x^2+3x+4$

6. Probe:
Du solltest wenn möglich immer eine Probe machen. Dafür nimmst du einen Punkt, der auf der Funktion liegt (du kannst auch die gegebenen dafür nehmen) und setzt ihn in die Gleichung ein. Prüfe so, ob zu dem x-Wert der passende y-Wert herauskommt.

$P(-1/1,5)$

$f(-1)=0,5(-1)^2+3(-1)+4=1,5$

Abbildung Graph der Funktion

Die Punkte $A, B$ und $C$ laufen durch den von uns ermittelten Graphen.

Es kann auch sein, dass in einer Aufgabe kein Punkt gegeben ist, an dem der x-Wert gleich null ist. Dann können wir leider nicht direkt den y-Achsenabschnitt bestimmen, sondern müssen ein lineares Gleichungssystem dazu aufstellen.

Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Scheitelpunkt gegeben ist. Dann musst du diesen einfach in die Scheitelpunktform einsetzen und gegebenenfalls umformen. Wenn du dies zweimal an einem Beispiel geübt hast, wirst du sehen, dass es gar nicht so schwer ist. Hierbei helfen dir die Übungsaufgaben.

Sie finden hier ein Aufgabenblatt mit einer vorgerechneten Beispielaufgabe. Es wird gezeigt, wie man die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aus 3 Punkten bestimmt, indem man ein lineares Gleichungssystem aufstellt und die Koeffizienten der quadratischen Funktion bestimmt. Außerdem wird auch noch gezeigt, wie man die Nullstellen der Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung bestimmt und sie man aus den Nullstellen den Scheitelpunkt der Funktion bestimmen kann. Eine weitere Aufgabe zum Selberrechnen finden Sie ebenfalls. In der Datei Lösung.pdf finden Sie die Lösung der Aufgabe.

Wenn Sie die Funktionsgleichung im Heft ausführlich dokumentieren wollen, aber trotzdem mit Unterstützung von Geogebra arbeiten wollen, dann finden Sie hier die passende Anleitung

Allgemeine Form aus drei Punkten

Anleitung

Basiswissen

Eine Parabelgleich oder quadratische Gleichung soll aus drei bekannten Punkten eines Graphen aufgestellt werden. Hier steht ein Verfahren dazu, dass immer anwendbar ist.

Allgemeine Form

◦ Für eine quadratische Funktion: f(x) = ax² + bx + c
◦ Für eine Parabelgleichung: y = ax² + bx + c

Gegeben

◦ Gegeben sind 3 Punkte.
◦ Diese Methode geht auch, wenn einer der Punkte der Scheitelpunkt ist.
◦ Man muss dazu nicht wissen, ob oder welcher Punkt der Scheitelpunkt ist.

Überhaupt lösbar?

Nicht immer kann man eine Parabel durch drei Punkte legen. Liegen zum Beispiel alle drei Punkte auf einer Geraden, ist es nicht möglich. Auch wenn zwei Punkte senkrecht übereinander liegen, kann man daraus auch keine Parabelgleichung aufstellen. Man muss diese Fälle nicht vorher erkennen. Kann man keine Parabel aufstellen, wird das unten beschriebene Gleichungssystem keine Lösung haben.

Verfahren

◦ Beispiel: P(1|4) Q(2|7) R(5|28)
◦ Man setzt die drei Punkte nacheinander in die Allgemeine Form ein ein.
◦ Die allgemeine Form ist: f(x) = ax² + bx + c

Einsetzen:

◦ 4 = a·1² + b·1 + c
◦ 7 = a·2² + b·2 + c
◦ 28 = a·5² + b·5 + c

Sortieren:

◦ 4 = 1a + 1b + c
◦ 7 = 4a + 2b + c
◦ 28 = 25a + 5b + c

◦ Das ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Unbekannten.
◦ Wenn man es löst, hat man die Werte für a, b und c.
◦ Wie man LGs löst steht unter => LGS mit drei Gleichungen lösen
◦ Im Beispiel ist die Lösung: a=1 b=0 und c=3
◦ Das in die Allgemeine Form einsetzen: f(x)=1x²+0x+3
◦ Vereinfachen gibt: f(x)=x²+3

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In diesem Artikel werden mehrere Vorgehensweisen beschrieben, mit deren Hilfe sich quadratische Funktionen mit gegebenen Eigenschaften (wie z. B. Punkte, die der Graph durchlaufen soll) aufstellen lassen.

Es werden 4 Aufgabentypen erklärt:

3 Punkte gegeben
Scheitel und ein weiterer Punkt gegeben
Punkte und Zusatzinformationen gegeben
Parabel als Graph der Funktion gegeben

3 Punkte gegeben

Da eine quadratische Funktion in ihrer Normalform durch f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c eindeutig bestimmt ist, bekommt man nach Einsetzen von drei Punkten ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei gesuchten Werten aaa, bbb und ccc, das man lösen muss.

Allgemeine Vorgehensweise für 3 gegebene Punkte

1. Schritt

Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c

einsetzen, sodass man drei Gleichungen erhält.

2. Schritt

Lineares Gleichungssystem lösen

3. Schritt

Funktionsterm angeben.

Beispielaufgabe

Gesucht ist die quadratische Funktion, die die Punkte A(−1∣12)A(-1|12)A(−1∣12), B(2∣15)B(2|15)B(2∣15) und C(5∣−18)C(5|{-}18)C(5∣−18) durchläuft.

1. Schritt: Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c einsetzen.Aus A(−1∣12):I12=a⋅(−1)2+b⋅(−1)+cAus B(2∣15):II15=a⋅22+b⋅2+cAus C(5∣−18):III−18=a⋅52+b⋅5+c\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }A(-1|12): &I &12 &= &a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\\text{Aus }B(2|15): &II &15 &= &a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\\text{Aus }C(5|{-}18): &III &-18 &= &a\cdot 5^2+b\cdot 5+c\end{array}Aus A(−1∣12):Aus B(2∣15):Aus C(5∣−18):IIIIII1215−18===a⋅(−1)2+b⋅(−1)+ca⋅22+b⋅2+ca⋅52+b⋅5+c

2. Schritt: Gleichungssystem lösen

Wie man ein Gleichungssystem löst, erfährst du im Artikel Additionsverfahren.

Ausführliche Rechnung, hier mit Additionsverfahren

Aus A(−1∣12):I12=a⋅(−1)2+b⋅(−1)+cAus B(2∣15):II15=a⋅22+b⋅2+cAus C(5∣−18):III−18=a⋅52+b⋅5+c\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }A(-1|12): &I &12 &= &a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\\text{Aus }B(2|15): &II &15 &= &a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\\text{Aus }C(5|{-}18): &III &-18 &= &a\cdot 5^2+b\cdot 5+c\end{array}Aus A(−1∣12):Aus B(2∣15):Aus C(5∣−18):IIIIII1215−18===a⋅(−1)2+b⋅(−1)+ca⋅22+b⋅2+ca⋅52+b⋅5+c

Zuerst solltest du die Zahlen auf der rechten Seite ausmultiplizieren.

I′12=a−b+cII′15=4⋅a+2⋅b+cIII′−18=25⋅a+5⋅b+c\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}&I' &12 &= &a &-b &+c\\&II' &15 &= &4\cdot a &+2\cdot b &+c\\&III' &-18 &= &25\cdot a &+5\cdot b &+c \end{array}I′II′III′1215−18===a4⋅a25⋅a−b+2⋅b+5⋅b+c+c+c

Du stellst fest, dass alle drei Gleichungen den Term +c+ c+c am Ende haben. Du kannst diesen also loswerden, indem du eine Gleichung von einer anderen subtrahierst. Indem du zum Beispiel II′II'II′ von I′I'I′ subtrahierst, erhältst du:

II′−I′:3=3a+3b\displaystyle II'-I':3=3a+3bII′−I′:3=3a+3b

Diese Gleichung lässt sich ganz leicht nach bbb auflösen. Es gilt:

3−3a=3b3 - 3a = 3b3−3a=3b, oder einfach

1−a=b.\displaystyle 1-a = b.1−a=b.

Auch wenn du die Gleichung III′III'III′ von der Gleichung II′II'II′ subtrahierst, verschwindet ccc. Dann erhältst du:

II′−III′:33=−21a−3b\displaystyle II'-III':33=-21a-3bII′−III′:33=−21a−3b

Setzt du hier die Auflösung 1−a=b1 - a = b1−a=b von oben ein, erhälst du:

33=−21a−3⋅(1−a)33 = -21a -3\cdot (1-a)33=−21a−3⋅(1−a),

und die Gleichung lässt sich zusammenfassen zu

33=−18a−3.\displaystyle 33=-18a-3.33=−18a−3.

Addierst du 333 auf beiden Seiten, so erhältst du

36=−18a.36 = -18a.36=−18a.

Durch −18-18−18 auf beiden Seiten teilen liefert:

−2=a.\displaystyle -2=a.−2=a.

Da 1−a=b1-a = b1−a=b schon bekannt war, kannst du hier a=−2a = -2a=−2 einsetzen und so ist

b=1−(−2)=3.\displaystyle b=1-(-2)=3.b=1−(−2)=3.

Nun kannst du beide Werte von aaa und bbb in III′III'III′ einsetzen und erhältst:

−18\displaystyle -18−18===25⋅(−2)+5⋅3+c.\displaystyle 25\cdot(-2)+5\cdot3+c.25⋅(−2)+5⋅3+c.

↓

Vereinfachen

−18\displaystyle -18−18===−50+15+c\displaystyle -50+15+c−50+15+c−18\displaystyle -18−18===−35+c\displaystyle -35+c−35+c+35\displaystyle +35+3517\displaystyle 1717===c\displaystyle cc

Als Ergebnis bekommt man also a=−2,b=3,c=17a=-2, b=3, c=17a=−2,b=3,c=17.

3. Schritt: Funktionsterm angeben: f(x)=−2x2+3x+17f\left(x\right)=-2x^2+3x+17f(x)=−2x2+3x+17 .

▸ Was ist, wenn das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat?

▸ Weitere Übungsaufgaben

Scheitel und ein weiterer Punkt gegeben

Hat man einen Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben, so empfiehlt es sich, die Scheitelform aufzustellen und anschließend den fehlenden Parameter aaa mit Hilfe des gegebenen Punktes auszurechnen. Um die Funktion in der Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c zu erhalten, muss man nun noch ausmultiplizieren.

Allgemeine Vorgehensweise für gegebenen Scheitel und gegebenem Punkt

1. Schritt

Scheitelpunkt verwenden, um die Scheitelform aufzustellen

2. Schritt:

Den noch fehlenden Parameter aaa berechnen, indem man den gegebenen Punkt in die Scheitelform einsetzt und nach dem Parameter auflöst.

3. Schritt:

Funktionsterm angeben.

Tipp

Der Scheitelpunkt kann auch indirekt gegeben sein, indem man ihn mit Verschiebungen beschreibt. "Die Parabel ist um 3 nach rechts und 2 nach oben verschoben" bedeutet zum Beispiel, dass der Scheitelpunkt bei (3|2) liegt.

Beispielaufgabe

Gesucht ist die quadratische Funktion f mit dem Scheitel S(−2∣−3)S(-2|-3)S(−2∣−3), die durch den Punkt P(2∣5)P(2|5)P(2∣5) verläuft.

1. Schritt: Scheitelpunkt S verwenden, um die Scheitelform aufzustellen: f(x)=a⋅(x+2)2 −3f(x)=a\cdot(x+2)²\;-3f(x)=a⋅(x+2)2−3.

2. Schritt: Den noch fehlenden Parameter aaa berechnen, indem man den gegebenen Punkt P in die Scheitelform einsetzt und nach aaa auflöst:5=a(2+2)2−3⇒8=16a⇒a=12\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}5 &= a(2+2)^2-3\\\Rightarrow 8 &= 16a\\\Rightarrow a &= \frac 12\end{aligned}5⇒8⇒a=a(2+2)2−3=16a=21

3. Schritt:

Die quadratische Funktion lautet somit f(x)=12(x+2)2−3f(x)=\frac12(x+2)^2-3f(x)=21(x+2)2−3 oder ausmultipliziert f(x)=12x2+2x−1f(x)=\frac12x^2+2x-1f(x)=21x2+2x−1.

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▸ Weitere Übungsaufgaben

Punkte und Zusatzinformationen gegeben

Oftmals sind in der Aufgabenstellung noch zusätzliche Informationen gegeben, mit deren Hilfe man dann die Funktionsvorschrift angeben kann. Oft reicht aber eine Zusatzinformation nicht aus, da sie wenig verwertbare Informationen liefert.

Beispiele für Zusatzinformationen

"Normalparabel": Der Vorfaktor aaa ist gleich 1 (wenn die Parabel nach oben geöffnet ist) oder gleich -1 (Parabel nach unten geöffnet).
"nach oben geöffnete Parabel" bzw. "nach unten geöffnete Parabel": Positives bzw. negatives Vorzeichen des Vorfaktors aaa (siehe Parabel )
"nimmt nur positive / negative Werte an": Parabel verläuft immer über / unter der xxx-Achse. yyy-Koordinate des Scheitels größer/kleiner 0.
"selbe yyy-Koordinate bei den Punkten": Der Scheitel liegt bezüglich der x-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten (Symmetrie von Parabeln).
"doppelte Nullstelle": Hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle, dann ist diese der Scheitelpunkt. Er liegt also auf der xxx-Achse und besitzt somit die yyy-Koordinate 0.

Beispielaufgabe

Gesucht ist eine Parabel, die eine doppelte Nullstelle hat und durch die Punkte A(1∣2)A(1|2)A(1∣2) und B(5∣2)B(5|2)B(5∣2) geht.

In diesem Fall lautet die Zusatzinformation "doppelte Nullstelle". Das heißt, der Scheitel liegt auf der x-Achse. Zusätzlich haben die beiden Punkte dieselbe y-Koordinate, d. h., der Scheitel liegt genau dazwischen. Zusammen ergibt sich für den Scheitel S(3∣ 0)S\left(3\vert\;0\right)S(3∣0) .

Jetzt kann man mit den drei Punkten ein lineares Gleichungssystem lösen oder mit dem Scheitel die Scheitelform aufstellen und einen anderen Punkt einsetzen. Man erhält also zuerst f(x)=a⋅(x−3)2+0f(x)=a\cdot\left(x-3\right)^2+0f(x)=a⋅(x−3)2+0 und setzt z. B. den Punkt BBB ein, um a=12a=\frac12a=21 zu erhalten. Insgesamt ergibt sich f(x)=12(x−3)2=12x2−3x+92f\left(x\right)=\frac12\left(x-3\right)^2=\frac12x^2-3x+\frac92f(x)=21(x−3)2=21x2−3x+29

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Parabel als Funktionsgraph gegeben

Falls die Parabel als Funktionsgraph im Koordinatensystem gegeben ist, kann man die Funktionsgleichung auf zwei Arten ablesen:

Drei Punkte ablesen

Man kann günstig gelegene Punkte aus dem Koordinatensystem ablesen, um die bekannten Lösungsansätze anzuwenden. Praktische Punkte sind dabei der Scheitelpunkt und die Nullstellen.

Direkt ablesen

Man kann die Gleichung auch direkt ablesen. Dazu benutzt man den Scheitelform y=a(x−d)2+ey= a\left( x- d\right)^2+ ey=a(x−d)2+e .

Die Koeffizienten ddd und eee sind die Koordinaten des Scheitelpunkts S(d∣e)\mathrm S\left( d\left| e\right.\right)S(d∣e)
Der Koeffizient aaa lässt sich ablesen, indem man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts oder links geht und abliest, wie weit man nach oben (falls aaa positiv ist) oder nach unten (falls aaa negativ ist) gehen muss.

Beispiel

Der Scheitelpunkt liegt bei (2|1), also bekommt man

y=a(x−2)2+1\boldsymbol y\boldsymbol=\boldsymbol a\left(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf2\right)^\mathbf2\boldsymbol+\mathbf1y=a(x−2)2+1

Geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so muss man drei Schritte nach oben gehen, bis man wieder auf dem Graphen ist. Also ist der Funktionsterm

y=3(x−2)2+1\boldsymbol y\boldsymbol=\mathbf3\left(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf2\right)^\mathbf2\boldsymbol+\mathbf1

Wie stellt man eine funktionsgleichung mit 3 Punkten auf?

Gesucht ist eine Funktionsgleichung. Lösung: Sind drei Punkte ohne besondere Eigenschaft wie zum Beispiel Nullstellen oder der Scheitelpunkt gegeben, so verwendet man als Ansatz die allgemeine Form (Polynomform) f(x)=ax2+bx+c f ( x ) = a x 2 + b x + c .

Wie stellt man eine quadratische Funktion auf?

Um eine Funktion 2. Grades, also eine quadratische Funktion zu bestimmen, benötigen wir drei Punkte, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen dürfen. Dies liegt daran, dass drei Variablen bestimmt werden müssen. f(x) = ax^2+bx+c \rightarrow Die Variablen a, b und c müssen bestimmt werden.

Kann eine quadratische Funktion 3 Nullstellen haben?

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse schneidet. Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben.

Wie viele Punkte braucht man um eine Parabel zu bestimmen?

Du sollst zwei Punkte auf einer Parabel rechnerisch bestimmen, ohne sie dabei vorher zu zeichnen. Ein solcher Punkt besteht aus einer x- und einer y-Koordinate, wobei die y-Koordinate von der x-Koordinate abhängt.

quadratische funktion aufstellen mit punkten