Das Oberfläche-zu-Volumen-Verhältnis (A/V-Verhältnis) ist der Quotient aus der OberflächeA{\displaystyle A} und dem VolumenV{\displaystyle
V} eines geometrischen Körpers. Es hat die Dimension 1/Länge. A/V-Verhältnis von Kugel, Würfel und Quader (Seitenverhältnis 1:2:3) bei gleichem Volumen Bei gegebenem Volumen weist von allen Körpern die Kugel die kleinste Oberfläche auf. Bei wachsendem Volumen nimmt das A/V-Verhältnis bei allen Körpern ab, da die Oberfläche quadratisch, das Volumen jedoch kubisch (in der dritten Potenz) wächst. Das ist von Bedeutung für die Abkühlungsgeschwindigkeit verschieden großer Massen: Die Abkühlung erfolgt proportional zur Größe der Oberfläche, die beim Größerwerden jedoch langsamer wächst als das Volumen, so dass größere Massen langsamer abkühlen als kleine. Das ist auch eine Erklärung dafür, dass Kaiserpinguine in der Antarktis größer sind und somit mehr Wärme behalten als Galápagos-Pinguin nahe dem Äquator, die Wärme eher abgeben wollen (Bergmannsche Regel und Allometrie). Inhaltsverzeichnis
Allgemein gilt für Körper: wenn man die Kantenlänge eines Quaders verdoppelt, vervierfacht sich seine Fläche (allgemeinsprachlich: Oberfläche; oder auch bei Berücksichtigung von Austauschprozessen, seine Grenzfläche); sein Volumen aber verachtfacht sich. Große Körper haben deshalb eine (z. B. für die Wärmespeicherung) günstigere Relation von Volumen zu Oberfläche: Das gilt auch für den Zylinder: wenn man seinen Durchmesser und seine Höhe verdoppelt, verachtfacht sich sein Volumen. Auch wenn man den Durchmesser einer Kugel verdoppelt, verachtfacht sich ihr Volumen. Eine Kugel hat das größte Verhältnis von Volumen zu Oberfläche aller geometrischen Körper. Der Stoffaustausch einer Zelle erfolgt über deren Oberfläche. Aufnahme und Abgabe von für den Stoffwechsel wichtigen Molekülen vollzieht sich über die Zellmembran (Phasengrenzflächen). Dabei spielt auch das Verhältnis von Zelloberfläche zu Zellvolumen eine wichtige Rolle. Je kleiner eine Zelle (oder auch ein Körper) ist, desto weniger Volumen hat er, im Verhältnis zu seiner Oberfläche. Eine stoffwechselaktive Zelle ist deshalb meist klein, da bei einem kleinen Zellkörper das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen günstiger ist als bei großvolumigen Zellen. Soll nun aber eine Zelle aufgrund des evolutionären Drucks sowohl großvolumig als auch stoffwechselaktiv sein ist dies nur durch eine zusätzliche Vergrößerung der Oberfläche durch Falten oder Ausstülpungen möglich, als Beispiel sei hier der Osteoklast angeführt. Bei verschiedengroßen Organismen führt das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen zu ökogeographischen Beobachtungen wie beispielsweise der Bergmannschen Regel. In der Bauphysik und beim Wärmeschutznachweis ist das A/V-Verhältnis eine wichtige Kenngröße für die Kompaktheit eines Gebäudes. Es berechnet sich als der Quotient aus der wärmeübertragenden Hüllfläche, d. h. Flächen, die Wärme an die Umwelt abgeben, wie Wände, Fenster, Dach, und dem beheizten Gebäudevolumen. Das A/V-Verhältnis beeinflusst entscheidend den Heizenergiebedarf. Ein geringeres A/V-Verhältnis bedeutet bei gleichem Gebäudevolumen eine kleinere Wärme übertragende Außenfläche. Pro m³ Volumen ist somit weniger Energie notwendig, um die Wärmeverluste über die Hülle auszugleichen. Große Gebäude weisen naturgemäß kleinere A/V-Verhältnisse auf, als z. B. Einfamilienhäuser. Typische Werte für Einfamilienhäuser liegen zwischen 0,8 und 1,01m{\textstyle \mathrm {\frac {1}{m}} }. Bei großen, kompakten Gebäuden sind Werte bis unter 0,21m{\textstyle \mathrm {\frac {1}{m}} } möglich.
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A V Verhaltnis Flachen Volumen Gesetz engl square cube law Sprache Beobachten Bearbeiten Das Oberflache zu Volumen Verhaltnis A V Verhaltnis ist der Quotient aus der Oberflache A displaystyle A und dem Volumen V displaystyle V eines geometrischen Korpers Es hat die Dimension 1 Lange A V Verhaltnis von Kugel Wurfel und Quader Seitenverhaltnis 1 2 3 bei gleichem Volumen Bei gegebenem Volumen weist von allen Korpern die Kugel die kleinste Oberflache auf Bei wachsendem Volumen nimmt das A V Verhaltnis bei allen Korpern ab da die Oberflache quadratisch das Volumen jedoch kubisch in der dritten Potenz wachst Das ist von Bedeutung fur die Abkuhlungsgeschwindigkeit verschieden grosser Massen Die Abkuhlung erfolgt proportional zur Grosse der Oberflache die beim Grosserwerden jedoch langsamer wachst als das Volumen so dass grossere Massen langsamer abkuhlen als kleine Das ist auch eine Erklarung dafur dass Kaiserpinguine in der Antarktis grosser sind und somit mehr Warme behalten als Galapagos Pinguin nahe dem Aquator die Warme eher abgeben wollen Bergmannsche Regel und Allometrie 1 Inhaltsverzeichnis 1 Betrachtung 2 Physiologische Implikationen 3 Bauphysik 4 Beispiele 5 EinzelnachweiseBetrachtung BearbeitenAllgemein gilt fur Korper wenn man die Kantenlange eines Quaders verdoppelt vervierfacht sich seine Flache allgemeinsprachlich Oberflache oder auch bei Berucksichtigung von Austauschprozessen seine Grenzflache sein Volumen aber verachtfacht sich Grosse Korper haben deshalb eine z B fur die Warmespeicherung gunstigere Relation von Volumen zu Oberflache V 1 a b c displaystyle V 1 a times b times c beim Wurfel V 1 a a a displaystyle V 1 a times a times a A 1 2 a b 2 b c 2 a c displaystyle A 1 2 times a times b 2 times b times c 2 times a times c Wurfel A 6 a a displaystyle A 6 times a times a V 2 2 a 2 b 2 c 2 2 2 a b c 8 a b c displaystyle V 2 2a times 2b times 2c 2 times 2 times 2 times a times b times c 8 times a times b times c Das gilt auch fur den Zylinder wenn man seinen Durchmesser und seine Hohe verdoppelt verachtfacht sich sein Volumen Auch wenn man den Durchmesser einer Kugel verdoppelt verachtfacht sich ihr Volumen Eine Kugel hat das grosste Verhaltnis von Volumen zu Oberflache aller geometrischen Korper Physiologische Implikationen BearbeitenDer Stoffaustausch einer Zelle erfolgt uber deren Oberflache Aufnahme und Abgabe von fur den Stoffwechsel wichtigen Molekulen vollzieht sich uber die Zellmembran Phasengrenzflachen Dabei spielt auch das Verhaltnis von Zelloberflache zu Zellvolumen eine wichtige Rolle Je kleiner eine Zelle oder auch ein Korper ist desto weniger Volumen hat er im Verhaltnis zu seiner Oberflache Eine stoffwechselaktive Zelle ist deshalb meist klein da bei einem kleinen Zellkorper das Verhaltnis von Oberflache zu Volumen gunstiger ist als bei grossvolumigen Zellen Soll nun aber eine Zelle aufgrund des evolutionaren Drucks sowohl grossvolumig als auch stoffwechselaktiv sein ist dies nur durch eine zusatzliche Vergrosserung der Oberflache durch Falten oder Ausstulpungen moglich als Beispiel sei hier der Osteoklast angefuhrt 2 Bei verschiedengrossen Organismen fuhrt das Verhaltnis von Oberflache zu Volumen zu okogeographischen Beobachtungen wie beispielsweise der Bergmannschen Regel Bauphysik BearbeitenIn der Bauphysik und beim Warmeschutznachweis ist das A V Verhaltnis eine wichtige Kenngrosse fur die Kompaktheit eines Gebaudes Es berechnet sich als der Quotient aus der warmeubertragenden Hullflache d h Flachen die Warme an die Umwelt abgeben wie Wande Fenster Dach und dem beheizten Gebaudevolumen Das A V Verhaltnis beeinflusst entscheidend den Heizenergiebedarf Ein geringeres A V Verhaltnis bedeutet bei gleichem Gebaudevolumen eine kleinere Warme ubertragende Aussenflache Pro m Volumen ist somit weniger Energie notwendig um die Warmeverluste uber die Hulle auszugleichen Grosse Gebaude weisen naturgemass kleinere A V Verhaltnisse auf als z B Einfamilienhauser Typische Werte fur Einfamilienhauser liegen zwischen 0 8 und 1 0 1 m textstyle mathrm frac 1 m Bei grossen kompakten Gebauden sind Werte bis unter 0 2 1 m textstyle mathrm frac 1 m moglich Beispiele BearbeitenKorper Form Lange a displaystyle a Oberflache Volumen A V Verhaltnis A V Verhaltnis pro RaumeinheitTetraeder Seite 3 a 2 displaystyle sqrt 3 a 2 2 a 3 12 displaystyle frac sqrt 2 a 3 12 6 6 a 14 697 a displaystyle frac 6 sqrt 6 a approx frac 14 697 a 7 21Wurfel Seite 6 a 2 displaystyle 6a 2 a 3 displaystyle a 3 6 a displaystyle frac 6 a 6Oktaeder Seite 2 3 a 2 displaystyle 2 sqrt 3 a 2 1 3 2 a 3 displaystyle frac 1 3 sqrt 2 a 3 3 6 a 7 348 a displaystyle frac 3 sqrt 6 a approx frac 7 348 a 5 72Dodekaeder Seite 3 25 10 5 a 2 displaystyle 3 sqrt 25 10 sqrt 5 a 2 1 4 15 7 5 a 3 displaystyle frac 1 4 15 7 sqrt 5 a 3 12 25 10 5 15 7 5 a 2 694 a displaystyle frac 12 sqrt 25 10 sqrt 5 15 7 sqrt 5 a approx frac 2 694 a 5 31Ikosaeder Seite 5 3 a 2 displaystyle 5 sqrt 3 a 2 5 12 3 5 a 3 displaystyle frac 5 12 3 sqrt 5 a 3 12 3 3 5 a 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Wie ändert sich die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen Wenn Würfel größer werden?Der grössere Würfel hat -bezogen auf seine Oberfläche- das doppelte Volumen. Die Konsequenzen dieses Satzes sind weitreichend: Die physikalischen Verhältnisse bestimmter Systeme ändern sich nämlich allein dadurch, dass man die Systeme vergrössert.
Können Volumen und Oberfläche gleich sein?Berechnungen an zusammengesetzten Körpern
Das Volumen des zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Volumen aller Teilkörper. Die Oberfläche ist die Summe aller begrenzenden Teilflächen. Beachte, dass die Flächen, an denen sich die Körper berühren, nicht zur Oberfläche gehören.
Was bedeutet ein besseres Oberflächen Volumen Verhältnis?Ein geringeres A/V-Verhältnis bedeutet bei gleichem Gebäudevolumen eine kleinere wärmeübertragende Außenfläche. Pro m³ Volumen ist somit weniger Energie notwendig, um die Wärmeverluste über die Hülle auszugleichen.
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