Gleichungssysteme treten – ebenso wie Gleichungen – in der Mathematik und ihren Anwendungen sehr oft auf. Insbesondere die linearen Gleichungssysteme sind von überragender Wichtigkeit. Für einen schnellen Einstieg in dieses Thema bieten wir Ihnen einen Exkurs an (siehe den Button rechts), der Ihnen einen ersten Überblick verschaffen kann. Show Lineare GleichungssystemeWenn Sie an einer ausführlicheren Hinführung interessiert sind, die eine Besprechung zweier systematischer Lösungsverfahren und die geometrische Interpretation ebenso mit einschließt wie einige Betrachtungen über nichtlineare Gleichungssysteme, dann lesen Sie den nun folgenden Text! Sehen Sie sich den Exkurs danach "zum Drüberstreuen" an! Er sollte Ihnen dann nichts Neues mehr sagen, sofern Sie das Wesentliche verstanden haben. Gleichungen und GleichungssystemeZum SeitenanfangGleichungen in mehreren Variablen Eine Gleichung ist die Behauptung, dass zwei Terme, die eine oder mehrere Variable enthalten, gleich sind. Hier ein ganz einfaches Beispiel: und hier ein anderes: Gleichungen Gleichung (1) ist eine Gleichung in einer Variablen, Gleichung (2) ist eine Gleichung in zwei Variablen. Eine Lösung der Gleichung (1) ist eine (reelle) Zahl x, die, in (1) eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt. Eine Lösung der Gleichung (2) ist ein (reelles) Zahlenpaar (x, y), das, in (2) eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt deren Lösungsmenge. Sehen wir uns die Lösungsmengen der beiden obigen Beispiele an:
Auch wenn es nicht immer leicht ist, Lösungen solcher Gleichungen zu finden, sollte Ihnen im Prinzip klar sein, was eine Lösung ist. Verifizieren Sie, dass das Zahlenpaar (0, 1) eine Lösung von (3) darstellt! Dazu müssen Sie nur x = 0 und y = 1 einsetzen und sich davon überzeugen, dass sich daraus eine wahre Aussage ergibt. (Trauen Sie sich – es ist ganz leicht!) reelle Zahlen Zahlenpaare quadratische GleichungenLineare Gleichungen in mehreren Variablen Eine wichtige Eigenschaft der Gleichung (2) besteht darin, dass sie linear ist. Wir können sie in eine einfachere Form bringen, in dem wir zu beiden Seiten 2y addieren. Wir erhalten dann Jede lineare Gleichung kann in eine solche Form gebracht werden:
Lineare Gleichungen können auch von einer einzigen Variable abhängen (lineare Gleichungen in einer Variablen wurden bereits im Gleichungskapitel behandelt), und sie können von mehr als zwei Variablen abhängen. Ganz allgemein kann eine lineare Gleichung in n Variablen in der Form lineare Gleichungen in einer Variablen a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c (4) angeschrieben werden, wobei die Variablen nun mit x1, x2, ... xn, die zugehörigen Koeffizienten mit a1, a2, ... an und die Konstante auf der rechten Seite mit c bezeichnet werden. Ist c = 0, so nennen wir die Gleichung homogen, ist c ≠ 0, so nennen wir sie inhomogen. Bemerkung: Wir wollen uns die Möglichkeit vorbehalten, dass in (4) manche der Koeffizienzen a1, a2, ... an gleich 0 sind, aber wir wollen immer annehmen, dass zumindest einer ≠ 0 ist.Falls nur wenige Variablen im Spiel sind, wird meist auf die Durchnummerierung verzichtet:
erfüllen. (In diesem Fall müssten Sie – wenn Sie mathematisch ganz korrekt sein wollen – noch die Zusatzbedingung stellen, dass r und v positiv sind.) Jede lineare Gleichung in mehr als einer Variablen besitzt (sofern nicht alle Koeffizienten gleich 0 sind) unendlich viele Lösungen. Es ist auch ganz klar, warum das so ist: Geben Sie die Werte aller Variablen bis auf einer frei vor (wobei der Koeffizient dieser einen ≠ 0 sein muss)! Damit erhalten Sie eine lineare Gleichung in einer einzigen Variablen, die Sie lösen können. Da dieser Umstand sehr wichtig ist, verdeutlichen wir ihn anhand eines einfachen Beispiels. Wir formulieren es zuerst in Worten: Die Summe zweier (reeller) Zahlen soll gleich 3 sein. Als Gleichung angeschrieben: Eine Lösung dieser Gleichung ist durch die Angabe zweier reeller Zahlen x und y festgelegt, deren Summe 3 ist. Geben Sie eine vor und berechnen sie daraus die andere – auf diese Weise erhalten Sie so viele Lösungen, wie sie wollen.
Lineare Gleichungssysteme Ein Gleichungssystem ist von der Idee her etwas sehr Einfaches: Es ist, wie der Name sagt, ein System mehrerer Gleichungen, die alle für die gleichen Variablen formuliert sind (wobei die Zahl der Gleichungen und die Zahl der Variablen nicht unbedingt übereinstimmen müssen, obwohl sie es in der Praxis oft tun). Jede der Gleichungen des Systems besitzt ihre eigene Lösungsmenge. Eine Lösung des Gleichungssystems ist eine gemeinsame Lösung aller dieser Gleichungen. Sie muss also jede einzelne Gleichung des Systems erfüllen. Sind alle Gleichungen eines Systems linear, so sprechen wir von einem linearen Gleichungssystem. Betrachten wir als Beispiel das folgende (lineare) System von 2 Gleichungen in 2 Variablen: Eine Lösung dieses Gleichungssystems ist ein (reelles) Zahlenpaar (x, y), das sowohl (7a) als auch (7b) erfüllt (also zu einer wahren Aussage macht). Wir können dieses System auch in Worten formulieren: Die Summe zweier Zahlen sei gleich 3, ihre Differenz sei gleich 1. Mit ein bisschen Nachdenken (so wie Sie es bei Denksportaufgaben machen) finden Sie sicher eine Lösung: Sie entspricht dem Zahlenpaar (2, 1), also x = 2 und y = 1. Wichtig ist, dass beide Angaben, also "x = 2" und "y = 1" gemeinsam eine Lösung bezeichnen. Um das zu betonen, können wir sie auch in der Form anschreiben.Da jede Lösung eines Gleichungssystems alle Gleichungen erfüllt, folgt: Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems ist gleich der Durchschnittsmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen. Machen Sie sich klar, warum hier nicht die Vereinigungsmenge, sondern die Durchschnittsmenge der einzelnen Lösungsmengen zu bilden ist! Wenn Sie eine Gleichung als Bedingung an die Lösungen interpretieren, so bedeutet das: Alle Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein! Je mehr Gleichungen (Bedingungen) zu erfüllen sind, um so weniger Lösungen wird es in der Regel geben. Jede der beiden Gleichungen (7a) und (7b) besitzt unendlich viele Lösungen. Das aus beiden Gleichungen bestehende System besitzt aber nur eine einzige Lösung, nämlich (8). Davon können Sie sich selbst ganz leicht überzeugen: Wenn (7a) und (7b) beide erfüllt sind, so muss sich eine wahre Aussage ergeben, wenn die linken und die rechten Seiten dieser beiden Gleichungen addiert werden. Das führt aber mit also unmittelbar zur Erkenntnis, dass x = 2 sein muss. Setzen wir x = 2 in (7a) und (7b) ein, so erhalten wir Beide Gleichungen besitzen nur eine Lösung, und in beiden Fällen ist es die gleiche, nämlich y = 1. Damit ist gezeigt, dass (8) die einzige Lösung des Gleichungssystems (7a) – (7b) ist. Obwohl (7a) und (7b) also jeweils unendlich viele Lösungen besitzen, gibt es nur eine einzige, die sie beide gemeinsam haben. Lineare Gleichungssysteme haben nicht immer eine Lösung, wie das einfache Beispiel Durchschnittsmengeillustriert. Wie auch immer x und y gewählt werden – es ist nicht möglich, dass x + y gleichzeitig 1 und –1 ist! Daher ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems (10a) – (10b) leer. Es kann auch geschehen, dass ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Beispiele dafür werden wir in diesem Kapitel noch kennen lernen. Damit haben wir die grundsätzlichen Begrifflichkeiten, um die es in diesem Kapitel geht, abgesteckt. Wir haben sie anhand linearer Gleichungssysteme illustriert, aber sie sind im Prinzip auch für nichtlineare Gleichungssysteme wie (11c) gültig:
Wir wenden uns nun den linearen Gleichungssystemen zu und werden nach zwei rechentechnischen Lösungsverfahren auch eine nützliche geometrische Darstellung der durch sie beschriebenen Situationen kennen lernen.
leere MengeLineare Gleichungssysteme rechnerisch lösenZum Seitenanfang Beim rechnerischen Lösen von Gleichungen ist der Begriff der Äquivalenzumformung zentral. Er bezeichnet eine Umformung einer Gleichung, die auf eine andere (in der Regel einfachere) Gleichung führt, die die gleiche Lösungsmenge wie die ursprüngliche Gleichung besitzt (und daher zu dieser äquivalent gennant wird). Die wichtigsten Äquivalenzumformung bestehen darin,
Beim rechnerischen Lösen von Gleichungssystemen kann nach dem gleichen Prinzip vorgegangen werden. Durch einzelne Umformungsschritte, die gewährleisten, dass die Lösungsmenge nicht verändert wird, wird ein Gleichungssystem so lange vereinfacht, bis es uns mehr oder weniger direkt die gesuchte Lösungsmenge offenbart. Klarerweise dürfen auf die einzelnen Gleichungen beliebige Äquivalenzumformungen angewandt werden (denn sie ändern die Lösungsmenge der entsprechenden Gleichung ja nicht). Das bedeutet: Jede Gleichung eines Systems darf jederzeit durch eine zu ihr äquivalente Gleichung ersetzt werden. Es sind aber auch zusätzliche Operationen erlaubt, die mehrere Gleichungen miteinander kombinieren: Äquivalenz- umformungen
Generell können bei linearen Gleichungssystemen drei Lösungsfälle auftreten:
Identitäten Eliminationsverfahren Das Eliminationsverfahren besteht darin, das System so zu vereinfachen, dass möglichst viele Gleichungen von möglichst wenigen Variablen abhängen. (Variable werden – so gut es geht – aus den Gleichungen eliminiert). Betrachten wir ein Beispiel: Multiplizieren wir beide Seiten der ersten Gleichung mit –2 und beide Seiten der zweiten Gleichung mit 3, so ergibt sich als neues Gleichungssystem Anhand der rot dargestellten Terme können Sie den Zweck der Übung erkennen: Wenn Sie die beiden Gleichungen addieren, fällt die Variable y heraus (sie ist eliminiert)! Die Summe der beiden Gleichungen lautet was zu äquivalent ist. Um nun ganz genau vorzugehen: Gleichung (12f) kommt zum Gleichungssystem dazu, während eine der beiden Gleichungen (12c) oder (12d) weggelassen werden kann. Wir werfen (12d) weg, womit das vereinfachte Gleichungssystem (das aber die gleiche Lösungsmenge wie das ursprüngliche besitzt) lautet. Wir können nun das Eliminationsverfahren ein zweites Mal anwenden. Wir machen es diesmal etwas eleganter als vorhin und bilden (in einem Schritt) die Summe "erste Gleichung plus 4 mal der zweiten", was sofort auf –6y = –6 und daher auf y = 1 führt. Wir lassen die erste der alten Gleichungen weg, womit sich das Gleichungssystem auf die Form vereinfacht. Es besitzt die gleiche Lösungsmenge wie das ursprüngliche System (12a) – (12b), aber in dieser Form sagt es uns direkt, dass die einzige Lösung (x = –1, y = 1) ist! Damit ist die Lösungsmenge gefunden. (In der Praxis hätte man, bei (12g) – (12h) angelangt, einfacher vorgehen können: Indem x = –1 in (12g) eingesetzt und nach y aufgelöst wird, ergibt sich sofort y = 1). Wie gestaltet sich der Ablauf dieser Methode für ein Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen besitzt? Sehen wir uns das anhand des Beispiels an. Wir bilden die Summe "–2 mal der ersten Gleichung plus die zweite Gleichung" (um die Variable x zu eliminieren) und erhalten die Gleichung Diese dürfen wir ignorieren, womit das vereinfachte Gleichungssystem – nachdem (13b) weggeworfen wird – lediglich aus Gleichung (13a) besteht! Was bedeutet das? Es bedeutet, dass das gegebene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, nämlich alle Lösungen von (13a)! Wir können einer der beiden Variablen einen beliebigen Wert zuweisen und den Wert der anderen daraus berechnen: Wenn wir x vorgeben, ergibt sich y = (1 – 2x)/3. Die allgemeine Lösung kann daher in der Form angeschrieben werden. Jede Lösung des Gleichungssystems (13a) – (13b) kann auf diese Weise erhalten werden. Was hier passiert ist, ist logisch betrachtet einfach zu erklären: Die beiden Gleichungen (13a) und (13b) des gegebenen Systems sind zueinander äquivalent – sie stellen die gleiche Bedingung an die Lösung dar. Um auch den letzten Lösungsfall, der eintreten kann, anhand eines Beispiels durchzuspielen, betrachten wir das Gleichungssystem an. Wir bilden die Summe "–2 mal der ersten Gleichung plus die zweite Gleichung" (um die Variable x zu eliminieren) und erhalten die Gleichung also einen Widerspruch. Das Gleichungssystem (15a) – (15b) besitzt keine Lösung. Seine Lösungsmenge ist leer. Das Verfahren der schrittweisen Elimination kann auch im Fall von mehr als zwei Variablen angewandt werden. Falls es eine eindeutig bestimmte Lösung gibt, läuft es ganz analog ab wie im Fall von zwei Variablen, nur sind mehr Schritte nötig, um ans Ziel zu gelangen. Ist die Lösungsmenge leer, so wird dies daran erkannt, dass ein Widerspruch auftritt. Falls es unendlich viele Lösungen gibt, so können mehrere Fälle eintreten. Für ein Gleichungssystem in drei Variablen kann das vereinfachte System aus einer oder aus zwei Gleichungen bestehen:
Falls das vereinfachte Gleichungssystem lediglich aus der einzigen Gleichung besteht, so ist die allgemeine Lösung durch gegeben. Alternativ dazu könnten auch (x, z) oder (y, z) frei vorgegeben werden. Falls das vereinfachte Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen besteht, so führt der Versuch, x zu eliminieren, wieder auf eine Gleichung, die zwei Variable enthält. Das Eliminationsverfahren liefert also keine wirkliche Vereinfachung mehr. Der Grund dafür liegt in der Struktur der beiden Gleichungen: Wird x vorgegeben, so können sie sofort nach y und z aufgelöst werden. Das zeigt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Die allgemeine Lösung ist durch gegeben. Alternativ dazu könnte auch der Wert von y oder z frei vorgegeben werden. Substitutionsverfahren Wir erläutern diese Methode zuerst allgemein anhand eines Systems von drei linearen Gleichunge in drei Variablen x, y und z. Die drei Gleichungen wollen wir mit (I), (II) und (III) bezeichnen. Der Ablauf sieht folgendermaßen aus:
Betrachten wir ein Beispiel. Wir kennzeichnen die Gleichungen mit den in der allgemeinen Beschreibung verwendeten Symbolen: Wir lösen (I) nach x auf und setzen (I') in (II) und (III) ein. Das ergibt Wir lösen (II') nach y auf und setzen (II'') in (III') ein: Dies ergibt sofort z = 5/7, was mit (II'') auf y = 3/7 und mit (I') auf x = 3/7 führt. Damit ist die (einzige) Lösung gefunden. Wie ändert sich dieser Ablauf bei einem Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen besitzt? Auch dazu ein Beispiel: Wir lösen (I) nach x auf und setzen (I') in (II) und (III) ein: Wir lösen (II') nach y auf und setzen (II'') in (III') ein: Hier tritt eine Identität auf, die ignoriert werden kann. Unser Gleichungssystem besteht demnach nur aus den Gleichungen (I') und (II''). Die Form dieser beiden Gleichungen sagt uns sofort, dass z beliebig vorgegeben werden kann. Gleichung (II'') bestimmt dann den Wert von y, und mit diesem schließen wir aus (I'), dass x = 1 – 3y + z = 1 – 4z/5 gilt. Wir können die allgemeine Lösung daher in der Form schreiben. Für den dritten Lösungsfall brauchen wir kein eigenes Beispiel: Tritt an irgendeinem Punkt des Ablaufs – etwa anstelle von (21h) – ein Widerspruch auf, so hat das betreffende Gleichungssystem keine Lösung. Ob Sie ein konkretes Gleichungssystem nun eher mit dem Eliminationsverfahren oder mit dem Substitutionsverfahren angehen sollen, bleibt Ihnen überlassen. In den meisten Fällen ist es eine Frage des persönlichen Geschmacks. In manchen Fällen bietet sich eines der beiden Verfahren als das kürzere und elegantere an. Mit ein bisschen Übung in beiden Methoden werden Sie selbst ein Gefühl dafür entwickeln. Grundsätzlich können beide Verfahren auch beim Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme probiert werden, wobei es allerdings keine Erfolgsgarantie gibt. Dieser Unter-Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Wir wollen nun ein paar allgemeine theoretische Resultate zu linearen Gleichungssystemen zusammenstellen. Dabei werden wir – ausnahmsweise – eine Reihe von Begriffen erwähnen, die in späteren Kapiteln behandelt werden, und die Sie vielleicht noch nicht kennen. Falls Sie an theoretischen Betrachtungen über Gleichungssysteme weniger interessiert sind und diese nicht benötigen, so können Sie die folgenden Absätze einfach überspringen. Falls nötig, kehren Sie bei Bedarf zu einem späteren Zeitpunkt zu ihnen zurück. Wir haben bereits weiter oben mit (4) eine Form angegeben, in die eine lineare Gleichung in n Variablen stets gebracht werden kann. Ein Gleichungssystem von m solchen Gleichungen kann daher immer in die Form a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = c1 (23a)a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = c1 (23b). . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = cm (23c) gebracht werden. Die mn Koeffizienten auf den linken Seiten der Gleichungen (die a's) bilden gemeinsam eine Matrix, d.h. ein rechteckiges Zahlenschema. Die m Konstanten auf den rechten Seiten (die c's) können gemeinsam als Vektor mit m Komponenten aufgefasst werden, den wir mit c bezeichnen. Die Lösungsmenge hängt nur von diesen insgesamt m (n + 1) vorgegebenen Zahlen ab. Die Variablen x1, x2, ... xm fassen wir als einen Vektor mit n Komponenten zusammen, den wir mit x bezeichnen. Eine Lösung des Gleichungssystems kann daher als ein Vektor x angesehen werden, dessen Komponenten die Gleichungen (23) erfüllen. Wie im ersten Vektorkapitel beschrieben, können Vektoren mit Zahlen multipliziert und zueinander addiert werden – mit einem Wort: Wir können beliebige Linearkombinationen von Vektoren bilden. Das werden wir im Folgenden benötigen. Wir nennen nun ein lineares Gleichungssystem, das in die Form (23) gebracht wurde, homogen, wenn c = 0 gilt, d.h. wenn alle Konstanten auf den rechten Seiten (die c's) gleich 0 sind. Anderenfalls nennen es inhomogen – das ist der Fall, wenn zumindest eine dieser Konstanten ≠ 0 ist. (Wir schreiben dann c ≠ 0). Haben wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem vor uns, so erhalten wir das zu ihm gehörende homogene Gleichungssystem, indem wir c = 0 setzen und die a's unverändert lassen. Mit diesen Begriffen lassen sich einige allgemeine Aussagen über die Lösungsmenge formulieren, die wir hier ohne Beweis wiedergeben: Matrizen Vektoren 1
Vektorräume (in Vorbereitung) Determinante Lineare Gleichungssysteme geometrisch interpretierenZum Seitenanfang Lineare Gleichungssysteme können auf einfache Weise geometrisch gedeutet werden. Die Interpretation, die wir nun besprechen, klärt auch auf eine der Vorstellung leicht zugängliche Weise auf, warum es manchmal nur eine, manchmal unendlich viele und manchmal gar keine Lösung gibt – und warum es nie eine andere Zahl von Lösungen geben kann. Weiters ist sie hilfreich, wenn wir uns von den Lösungsmengen, die unendlich viele Elemente besitzen, ein Bild machen wollen. Beginnen wir mit einer einzigen linearen Gleichung in zwei Variablen, die wir x und y nennen. Eine Lösung ist ein (reelles) Zahlenpaar (x, y), das sie erfüllt. Ein Zahlenpaar können wir aber als Punkt in der Zeichenebene darstellen, dessen Koordinaten x und y sind. Die Menge aller Zahlenpaare ist die Zeichenebene selbst. Daher kann die Lösungsmenge einer linearen Gleichung als Teilmenge der Zeichenebene aufgefasst werden und bekommt damit unmittelbar einen geometrischen Charakter. Welche Arten von Teilmengen treten als Lösungsmengen linearer Gleichungen auf? Wie im ersten Kapitel über analytische Geometrie dargestellt, handelt es sich um Geraden. Mit anderen Worten: Eine lineare Gleichung in zwei Variablen kann als Geradengleichung interpretiert werden. Das trifft natürlich auch auf alle linearen Gleichungen zu, die wir in diesem Kapitel bisher hingeschrieben haben, etwa (2), was äquivalent zu (2') ist, oder (6) oder (7a) oder (7b). Eine lineare Gleichung in zwei Variablen kann stets in die Form Zeichenebene und Koordinatensystem Geradengleichungen gebracht werden (was nichts anderes als (4) für n = 2 ist). Dabei wollen wir voraussetzen, dass von den beiden Konstanten a und b zumindest eine ≠ 0 ist. Wie die Konstanten, die hier auftreten, mit der Lage der Geraden zusammenhängen, wurde im Geometriekapitel im Zusammenhang mit den Geradengleichungen eingehend besprochen. Hier nur eine Zusammenfassung der Ergebnisse:
Normalvektor Normalvektorform der GeradenIst b ≠ 0, so können Sie sich schnell über die Lage der Geraden orientieren, indem Sie die Gleichung nach y auflösen und den erhaltenen Ausdruck (der immer die Form k x + d hat) in einen Funktionsplotter, beispielsweise in den eingeben. Um etwa die durch die Gleichung y = 2x – 1 definierte Gerade anzuzeigen, tippen Sie 2*x-1 ein! Mit diesem Tool können Sie auch mehrere Geraden gleichzeitig anzeigen (was im Folgenden von Bedeutung sein wird). Lineare Schnittprobleme in der Ebene Wenn die Lösungsmenge einer linearen Gleichung in zwei Variablen geometrisch als Gerade dargestellt werden kann, so ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in zwei Variablen – die ja die Durchschnittsmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen ist – nicht anderes als die Schnittmenge der Geraden, die die einzelnen Gleichungen darstellen. Wir beschränken uns auf den Fall, dass das System aus zwei linearen Gleichungen besteht. Die Lösungsmenge ist dann einfach die Schnittmenge zweier Geraden! Das ist der geometrische Hintergrund, der bei den linearen Gleichungssystemem mitschwingt und praktisch alle ihre Eigenschaften erklären kann! Im Fall von mehr als zwei Variablen oder mehr als zwei Gleichungen muss er nur ein bisschen verallgemeinert werden, aber die zentrale Idee haben wir bereits hier offen vor uns liegen! Gemoetrisch läuft das Lösen eines Systems von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen also darauf hinaus, die Schnittmenge zweier Geraden zu ermitteln. Wie das recherisch zu bewerkstelligen ist, haben wir in diesem Kapitel bereits besprochen (denn ein solches lineares Schnittproblem in der Ebene zu lösen besteht gerade darin, ein Gleichungssystem zu lösen). Wir wenden uns nun der Frage zu, was es geometrisch bedeutet. Wie kann die Schnittmenge zweier Geraden in der Zeichenebene aussehen? Drei Fälle sind möglich:
Erkennen Sie, dass diese möglichen Lagebeziehungen von zwei Geraden in der Ebene genau den drei grundsätzlich möglichen Lösungsfällen entsprechen, die uns bei den linearen Gleichungssystemen immer begegnet sind? Um sich die geometrische Bedeutung eines konkreten Gleichungssystems in zwei Variablen vor Augen zu halten, müssem Sie zuerst die Geraden bestimmen, die den einzelnen Gleichungen entsprechen (d.h. deren Lösungsmengen sie darstellen). Die Schnittmenge dieser Geraden (also die Menge aller Punkte, die sie gemeinsam besitzen) gibt dann die Lösungsmenge des gesamten Gleichungssystems an, und klarerweise sollte sie mit dem Ergebnis Ihrer Berechnung übereinstimmen. Im ersten Geometriekapitel wurden die Lagebeziehungen und Schnittmengen von Geraden in der Ebene ausführlich diskutiert – sehen Sie sich den entsprechenden Abschnitt als Ergänzung an! Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene Auf diese Weise spielen lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen und lineare Schnittproblem in der Ebene zusammen. Sie sind praktisch identisch! Wollen Sie ein solches Gleichungssystem lösen, so können Sie die betreffenden Geraden zeichnen (oder plotten) und die Schnittmenge (insbesondere, wenn es sich um einen einzigen Punkt handelt) zumindest näherungsweise ablesen. Wollen Sie umgekehrt die Schnittmenge zweier Geraden in der Zeichenebene durch eine Rechnung ermitteln, so müssen Sie ein lineares Gleichungssystem lösen. Wir kommen noch kurz auf den (rechnerisch etwas unangenehmen) Fall zurück, dass ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen unendlich viele Lösungen besitzt. Gehen Sie die oben durchgeführte rechnerische Lösung des Gleichungssystem (13a) – (13b) noch einmal unter diesem Gesichtspunkt durch:
Parameterdarstellung von Geraden in der EbeneEbenengleichungen Im zweiten Geometriekapitel wurde die analytische (d.h. rechnerische) Darstellung von Ebenen im Raum behandelt. Es ist an dieser Stelle wahrscheinlich nicht überraschend, dass Ebenen im Raum genau die Lösungsmengen von linearen Gleichungen in drei Variablen sind. Jede lineare Gleichung in drei Variablen Beschreibung von Ebenen(wobei wir die Koeffizienzen nun mit p, q und r bezeichnet haben) kann geometrisch als Ebenengleichung gedeutet werden. Wir wollen hier nicht in die Details der Lagebestimmung einer Ebene aus ihrer Gleichung eindringen, sondern erwähnen nur drei Aspekte:
Ebenengleichung Normalverktorform der EbeneGeraden im Raum Eine Gerade im Raum kann nicht durch eine lineare Gleichung in den drei Raumkoordinaten beschrieben werden (denn jede solche Gleichung stellt, wie soeben diskutiert, eine Ebene dar). Statt dessen gibt es eine andere Methode: die Parameterdarstellung von Geraden im Raum. Wir wollen auch dieses Thema hier nicht wiederholen, sondern verweisen auf das erste Geometriekapitel, in dem es eingeführt und diskutiert wurde. Parameterdarstellung von Geraden im RaumLineare Schnittprobleme im Raum Wenn die Lösungsmenge einer linearen Gleichung in drei Variablen geometrisch als Ebene im Raum dargestellt werden kann, so ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in drei Variablen – die ja die Durchschnittsmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen ist – nicht anderes als die Schnittmenge der Ebenen, die die einzelnen Gleichungen darstellen. Gemoetrisch läuft das Lösen eines linearen Gleichungssystems in drei Variablen also darauf hinaus, die Schnittmenge aller Ebenen zu ermitteln, die den einzelnen Gleichungen entsprechen. Wir das recherisch zu bewerkstelligen ist, haben wir in diesem Kapitel bereits besprochen (denn ein solches lineares Schnittproblem im Raum zu lösen besteht gerade darin, ein Gleichungssystem zu lösen). Wir wenden uns nun der Frage zu, was es geometrisch bedeutet. Wie sehen die möglichen Lagebeziehungen und Schnittmengen von Ebenen im Raum aus? Diese Fragen werden im zweiten Geometriekapitel ausführlich diskutiert. Daher beschränken wir uns hier auf die wesentlichen Aspekte. Lagebeziehungen von Ebenen Zuerst betrachten wir den Fall von nur zwei Ebenen:
Parameterdarstellung der Ebene Damit haben wir eine der schönsten mathematischen Querverbindungen offengelegt: die zwischen linearen Gleichungssystemen und linearen Schnittproblemen. Was geometrisch bei linearen Gleichungssystemen in mehr als drei Variablen geschieht, können wir uns weniger gut vorstellen, aber im Grunde sind es ganz ähnliche Dinge wie die bisher besprochenen. Noch ein bisschen Theorie Dieser Unter-Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Auch die obigen theoretischen Betrachtungen erfahren nun eine geometrische Aufklärung:
Ortsvektor Lineare Algebra (in Vorbereitung) Mathematische Strukturen und Räume (in Vorbereitung) Nichtlineare GleichungssystemeZum Seitenanfang Nichtlineare Gleichungssysteme können beliebig kompliziert sein. Wir beschränken uns hier auf einfache Systeme in zwei und drei Variablen, die höchstens quadratisch in den Variablen sind, und (mehr oder weniger) einfache geometrische Deutung zulassen. Die Lösungsmengen nichtlinearer Gleichungen in zwei Variablen können – ebenso wie jene linearer Gleichungen – als Teilmengen der Zeichenebene dargestellt (und vorgestellt) werden. Da diesem Thema das dritte Geometriekapitel gewidmet ist, fassen wir uns kurz. Die folgende Liste führt einige nichtlineare Gleichungen in zwei Variablen und die geometrische Darstellung ihrer Lösungsmengen an: Verschobene Ellipsen werden analog zum Kreis erhalten. x2/a2 – y2/b2 = 1 –x2/a2 + y2/b2 = 1Hyperbeln in Hauptlage mit Halbachsen a und b. Verschobene Hyperbeln werden analog zum Kreis erhalten.x2 = 2py y2 = 2pxParabeln in Hauptlage mit Parameter p. Verschobene Parabeln werden analog zum Kreis erhalten. ax2 + rx + by2 + sy + txy = c Je nach den Werten der Konstanten a, b, r, s und t: Gerade, Ellipse (Spezialfall: Kreis), Hyperbel, Parabel (alle in beliebiger Lage, auch verdreht) oder ein Grenzfall wie ein einzelner Punkt oder zwei einander schneidende Geraden. Insbesondere die letzte dieser Gleichungen (die allgemeine – höchstens quadratische – Gleichung in zwei Variablen) zeigt, wie reichhaltig die hier auftretenden Lösungsmengen sind. Die Lösungsmengen von Gleichungssystemen, die aus derartigen Gleichungen bestehen, sind also die Schnittmengen der entsprechenden geometrischen Figuren. Einige Fälle sind von allgemeiner Relevanz, wie beispielsweise das System dessen Lösung, geometrisch interpretiert, auf die Bestimmung der Schnittmenge eines Kreises mit einer Geraden hinausläuft. Die gegebene Lösungsmethode ist hier das Substitutionsverfahren: Wird (30b) in (30a) eingesetzt, so ensteht eine quadratische Gleichung in x, die (zunächst formal) gelöst werden kann. Versuchen Sie es selbst! Dabei sollte die Wurzel aus der Kombination (1 + k2) r2 – d2 auftreten. Ist diese Größe positiv, so gibt es zwei Lösungen (also zwei Schnittpunkte). Ist sie negativ, so gibt es keine Lösung (also keinen gemeinsamen Punkt). Ist sie gleich 0, so gibt es genau eine Lösung, also genau einen gemeinsamen Punkt, in dem die Gerade den Kreis berührt. Das Kriterium Analytische Geometrie 3 (in Vorbereitung) wird daher als Berührbedingung bezeichnet. Ähnliche Überlegungen können mit Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln angestellt werden. Berührbedingungen (in Vorbereitung)Nichtlineare Schnittprobleme im Raum Abschließend erwähnen wir, dass Gleichungssysteme in drei Variablen, die höchstens quadratisch in den Variablen sind, als Schnittprobleme bestimmter Flächen im Raum gedeutet werden können, nämlich von Ebenen, Sphären (Kugeloberflächen), Ellipsoiden, Hyperboloiden und Paraboloiden (sowie einigen Grenzfällen wie Doppelkegeln und Zylindern) – mit einem Wort: den räumlichen Verallgemeinerungen von Geraden, Kreisen, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Hier nur einige wenige Beispiele: GleichungLösungsmengex2 + y2 + z2 = r2Sphäre mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r.(x – p)2 + (y – q)2 + (x – s)2 = r2Sphäre mit Mittelpunkt im Punkt (p, q, s) und Radius r.x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1Ellipsoid in Hauptlage mit Halbachsen a, b und c.x2 + y2 – z2 = 1Einschaliges Hyperboloid.x2 + y2 – z2 = –1 Zweischaliges Hyperboloid. x2 + y2 – z2 = 0 Doppelkegel. z = x2 + y2 Paraboloid.Flächen im Raum (in Vorbereitung)
Wird die Bedingung "höchstens quadratisch in den Variablen" fallen gelassen, so handelt man sich Schnittprobleme mit weitgehend beliebigen Flächen ein, die auch beliebig kompliziert sein können.
Kegelschnitte (in Vorbereitung) Gleichungssysteme mit dem Computer lösenZum Seitenanfang Zum (exakten oder näherungsweisen) Lösen von Gleichungssystemen steht eine Reihe elektronischer Tools zur Verfügung, die aber in der Regel unterschiedlich "schlau" sind. Wir müssen bedenken, dass sich ein Computerprogramm im Allgemeinen leicht tun, wenn es endlich viele Dinge, die durch Zahlen ausgedrückt werden können, finden soll. Wie gut es die unterschiedlichen Lösungsfälle, die bei Gleichungssystemen auftreten können (insbesondere wenn unendlich viele Lösungen existieren), erkennt, hängt sehr davon ab, wie es programmiert ist, und aus welchen Typen von Gleichungen das System besteht. Am besten können das Computeralgebra-Systeme (CAS). F�r die rechnerische Lösung (ohne grafische Darstellung) können Sie unser Tool Online-Rechnen mit Mathematica benutzen:
komplexe Zahlen (in Vorbereitung) Auf der Webseite Für lineare Systeme von gleich vielen Variablen wie Gleichungen und den speziellen Fall, dass es eine eindeutige Lösung gibt, stehen auch andere Online-Tools zur Verfügung, wie die Seite Wann setzt man zwei Gleichungen gleich?Wenn bei beiden Gleichungen auf der einen Seite der Gleichung nur das gleiche Vielfache einer Variablen steht, kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite der Gleichung gleichsetzen.
Wie überprüft man eine Gleichung?Für die Gleichung führen wir eine Probe durch. Wir setzen x = 4 in die Startgleichung ein. Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung und wenn am Ende links und rechts die selbe Zahl steht, haben wir uns nicht verrechnet und x = 4 stimmt. Mit 34 = 34 entsteht eine wahre Aussage.
Wann haben zwei Gleichungen keine Lösung?Keine Lösung.
Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Graphen parallel sind.
Wann hat eine Gleichung genau eine Lösung?Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn die Steigung der Geraden nicht gleich ist. Das bedeutet, dass hier jede von 3 verschiedene Zahl eingesetzt werden kann.
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