Warum sind die zwei euler geraden gleich

In jedem Dreieck liegen der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M (Umkreismittelpunkt), der Höhenschnittpunkt H und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden S ( Schwerpunkt des Dreiecks) auf einer Geraden. Diese Gerade wird nach dem Schweizer Mathematiker LEONARD EULER (1707 bis 1783) eulersche Gerade genannt.

Feuerbachkreis (Neunpunktekreis)

Der Kreis um den Mittelpunkt der Verbindungstrecke von Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt, der durch die Seitenmittelpunkte, die Fußpunkte der Höhen und die Mittelpunkte zwischen Ecken und Höhenschnittpunkt geht, heißt Feuerbachkreis. Er berührt den Inkreis und die drei Ankreise. Sein Radius ist halb so groß wie der Umkreisradius.

Feuerbachkreis (Neunpunktekreis)

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Besondere Punkte im Dreieck

In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte

• Drei davon, der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen sogar auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler'schen Geraden.
• Der vierte besondere Punkt ist der Inkreismittelpunkt.

Höhenschnittpunkt im Dreieck

Eine Höhenlinie auf eine Seite entspricht dem kürzesten Abstand dieser Seite, dem „Normalabstand“, zum gegenüber liegenden Eckpunkt. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Höhenschnittpunkt H. Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb der Figur bei einem spitzwinkeligen Dreiecks und ausserhalb bei einem stumpfwinkeligen Dreieck. Im stumpfwinkeligen Dreieck muss man daher die Seite über den Eckpunkt hinaus verlängern, um die Höhe in den gegenüber liegenden Eckpunkt zeichnen zu können.

Gerade haGerade ha: Gerade durch A senkrecht zu a Gerade hcGerade hc: Gerade durch C senkrecht zu c Gerade hbGerade hb: Gerade durch B senkrecht zu b Strecke cStrecke c: Strecke [A, B] Strecke aStrecke a: Strecke [B, C] Strecke bStrecke b: Strecke [A, C] cText1 = "c" aText2 = "a" bText3 = "b" h_aText4 = "h_a" h_aText4 = "h_a" h_cText5 = "h_c" h_cText5 = "h_c" h_bText6 = "h_b" h_bText6 = "h_b"

Umkreismittelpunkt im Dreieck

Eine Streckensymmetrale geht durch den Halbierungspunkt einer Seite des Dreiecks und steht normal auf diese Seite. Die drei Streckensymmetralen schneiden einander im Umkreismittelpunkt, der von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt liegt. Bei einem stumpfwinkeligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb vom Dreieck.

Kreis dKreis d: Kreis durch E mit Mittelpunkt U Gerade fGerade f: Streckensymmetrale a Gerade gGerade g: Streckensymmetrale b Gerade hGerade h: Streckensymmetrale c Strecke cStrecke c: Strecke A, B Strecke aStrecke a: Strecke B, C Strecke bStrecke b: Strecke A, C Punkt UPunkt U: Schnittpunkt von f, g Punkt UPunkt U: Schnittpunkt von f, g Punkt UPunkt U: Schnittpunkt von f, g cText1 = “c” aText2 = “a” bText3 = “b” s_cText4 = “s_c” s_cText4 = “s_c” s_bText5 = “s_b” s_bText5 = “s_b” s_aText6 = “s_a” s_aText6 = “s_a”

Schwerpunkt im Dreieck

Eine Schwerelinie verläuft vom Halbierungspunkt einer Seite in den gegenüber liegenden Eckpunkt des Dreiecks. Die drei Schwerelinien schneiden einander im Schwerpunkt. Man kann ein Dreieck entlang jeder der drei Schwerelinien ausbalancieren. Im Schwerpunkt ist das Dreieck an einem einzigen Punkt ausbalanciert.

Gerade iGerade i: Linie D, B Gerade jGerade j: Linie G, A Gerade kGerade k: Linie F, C Strecke cStrecke c: Strecke A, B Strecke aStrecke a: Strecke B, C Strecke bStrecke b: Strecke A, C Punkt DPunkt D: Schnittpunkt von g, b Punkt DPunkt D: Schnittpunkt von g, b Punkt FPunkt F: Schnittpunkt von h, c Punkt FPunkt F: Schnittpunkt von h, c Punkt GPunkt G: Schnittpunkt von f, a Punkt GPunkt G: Schnittpunkt von f, a Punkt HPunkt H: Schnittpunkt von i, j Punkt HPunkt H: Schnittpunkt von i, j Punkt HPunkt H: Schnittpunkt von i, j cText1 = “c” aText2 = “a” bText3 = “b” s_cText4 = “s_c” s_cText4 = “s_c” s_bText5 = “s_b” s_bText5 = “s_b” s_aText6 = “s_a” s_aText6 = “s_a”

Inkreismittelpunkt im Dreieck

Eine Winkelsymmetrale halbiert einen Winkel. Alle Punkte welche die Winkelsymmetrale bilden, sind von den beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Inkreismittelpunkt I. Der Inkreismittelpunkt ist nämlich von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.

Kreis kKreis k: Kreis mit Mittelpunkt I und Radius 0.64 Gerade dGerade d: Winkelsymmetrale von b, c Gerade fGerade f: Winkelsymmetrale von a, b Gerade iGerade i: Winkelsymmetrale von a, c Strecke cStrecke c: Strecke A, B Strecke aStrecke a: Strecke B, C Strecke bStrecke b: Strecke A, C Punkt IPunkt I: Schnittpunkt von d, f Punkt IPunkt I: Schnittpunkt von d, f cText1 = “c” aText2 = “a” bText3 = “b” w_αText4 = “w_α” w_αText4 = “w_α” w_βText5 = “w_β” w_βText5 = “w_β” ${w_\gamma }$Text6 = “${w_\gamma }$” ${w_\gamma }$Text6 = “${w_\gamma }$” γ/2Text7 = “γ/2” γ/2Text7 = “γ/2” γ/2Text7 = “γ/2” γ/2Text8 = “γ/2” γ/2Text8 = “γ/2” γ/2Text8 = “γ/2”

Ist die eulersche gerade immer eindeutig?

Für was braucht man die eulersche gerade?

Welche Punkte liegen immer auf der eulerschen gerade?

Wer hat die eulersche gerade erfunden?