Wie berechnet man p Satz des Pythagoras?

Es gibt noch 2 weitere Berechnungen, die sich auf rechtwinklige Dreiecke beziehen. Sie leiten sich aus dem Satz des Pythagoras ab.

Dazu zeichnest du die Höhe auf der Hypotenuse des Dreiecks ein. Die Hypotenuse (die längste Seite im Dreieck) wird durch die Höhe auf ihr in 2 Teile geteilt.

Meistens heißen die Teilstücke $$q$$ und $$p$$.

Die neuen beiden Sätze, die du jetzt lernst, sind der Höhensatz und der Kathetensatz.

Es ist egal, wo die Hypotenuse liegt. Jede Höhe auf einer Hypotenuse teilt das Dreieck in 2 weitere rechtwinklige Dreiecke.

Der Höhensatz

Der Höhensatz lautet:

$$h^2=q*p$$

In Worten gesprochen bedeutet der Höhensatz: Zeichnest du ein Quadrat mit der Seitenlänge $$h$$, ist das genauso groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten $$p$$ und $$q$$.

Beispiel:
$$h=4$$ $$cm$$
$$q=8$$ $$cm$$
$$p=2$$ $$cm$$

Hier ist das Quadrat mit der Seitenlänge $$h =4$$ $$cm$$ eingezeichnet. Der Flächeninhalt ist hier $$16$$ $$cm^2$$. Du rechnest $$4*4 = 16$$ $$cm^2$$.

Jetzt ist auch das Rechteck $$q*p$$ eingezeichnet. Den Flächeninhalt berechnest du mit $$2*8=16$$ $$cm^2$$.

Das ist ein Beispiel für den Höhensatz. Das geht mit jedem rechtwinkligen Dreieck. Allgemein gilt $$h^2=q*p$$.

Der Kathetensatz

Den Kathetensatz gibt es für beide Katheten $$a$$ und $$b$$:

$$a^2 = c*p$$
$$b^2 = c*q$$

Erklärt wird dir hier das Beispiel mit $$b^2$$.

In Worten gesprochen bedeutet der Kathetensatz: Das Quadrat mit der Seitenlänge $$b$$ ist flächengleich zu dem Rechteck mit den Seitenlängen $$c$$ und $$q$$.

Beispiel:

$$b^2 stackrel(?)= c*q$$

$$5^2=6,25*4$$ (Zahlen einsetzen)

$$25=25$$

Das passt!

Im Bild sieht das so aus:

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Beweis des Höhensatzes

Den Höhensatz kannst du mit dem Satz des Pythagoras beweisen.

Das Dreieck wird durch die Höhe in 2 rechtwinklige Dreiecke geteilt. In beiden Dreiecken kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.

$$h_c^2+p^2=a^2$$

$$h_c^2+q^2=b^2$$

Außerdem gilt der Satz des Pythagoras in dem großen Dreieck:

$$a^2$$ $$+$$ $$b^2$$ $$=c^2$$

Beide Pythagorasgleichungen der kleinen Dreiecke setzt du in die Gleichung für das große Dreieck ein.

$$a^2$$ $$+$$ $$b^2$$ $$=c^2$$

$$h_c^2+p^2$$ $$+$$ $$h_c^2+q^2$$ $$=c^2$$ $$|$$zusammenfassen

$$2h_c^2+p^2+q^2=c^2$$ $$|$$setze $$(p+q)$$ für $$c$$ ein

$$2h_c^2+p^2+q^2=(p+q)^2$$ $$|$$Binomische Formel anwenden

$$2h_c^2+p^2+q^2=p^2+2pq+q^2$$ $$|$$$$-p^2$$ und $$-q^2$$

$$2h_c^2=2pq$$ $$|:2$$

$$h_c^2=p*q$$

Die letzte Zeile ist der Höhensatz! Du hast mithilfe von Umformungen den Höhensatz erhalten. Damit ist er bewiesen.

Beweis des Kathetensatzes

Im Beweis des Kathetensatzes wird der Höhensatz benutzt. Das darfst du tun, weil du den Höhensatz ja gerade bewiesen hast.

Es geht bei diesem Beweis darum, dass durch Umstellung des Satzes des Pythagoras der Kathetensatz $$a^2 = p * c$$ entsteht.

Das blaue Dreieck wird für den Pythagoras verwendet.

$$a^2=p^2+h_c^2$$ $$|$$ Höhensatz anwenden: $$h_c^2=p*q$$

$$a^2=p^2+p*q$$ $$|$$$$p$$ ausklammern

$$a^2=p*(p+q)$$ $$|$$$$p+q$$ ist gleich $$c$$

$$a^2=p*c$$

Das war zu beweisen. Für die andere Kathete $$b$$ würdest du das andere Dreieck mit der Seite $$q$$ nehmen.

Du lernst in diesem Kapitel neue Begriffe und Rechnungen für das rechtwinklige Dreieck kennen. Alles, was du jetzt lernst, gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken.

Neue Begriffe

Im rechtwinkligen Dreieck heißen die Seiten Katheten und Hypotenuse. Die längste Seite heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.

Diese Namen der Seiten klingen griechisch, sind sie auch. Das liegt daran, dass die Rechnungen im rechtwinkligen Dreieck von einem Griechen herausgefunden worden sind. Er hat die Seiten so getauft. Du ahnst es: Der Grieche hieß Pythagoras.

Der Satz von Pythagoras

Pythagoras ist der Grieche, der die Berechnung im rechtwinkligen Dreieck herausgefunden hat.

Der Pythagoras in Wort und Bild

In Worten

Pythagoras fand heraus, dass das Hypotenusenquadrat flächeninhaltsgleich zu den beiden Kathetenquadraten ist.

Im Bild

Ohne das Dreieck sieht das so aus:

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Der Pythagoras mit Buchstaben

Beim Satz des Pythagoras werden Flächen miteinander gleichgesetzt.

Um den Flächeninhalt der einzelnen Quadrate auszudrücken, wendest du die Formel zum Flächeninhaltsberechnen eines Quadrates an.

Für das Hypotenusenquadrat:

$$A_□=c*c=c^2$$

Für die beiden Kathetenquadrate:

$$A_□=a*a=a^2$$

$$A_□=b*b=b^2$$

Der Satz des Pythagoras heißt allgemeingültig: $$c^2=a^2+b^2$$

Gleichbedeutend ist die Formel:
$$a^2+b^2=c^2$$

Im Dreieck werden die Seiten auch mit den Kleinbuchstaben $$a$$, $$b$$ und $$c$$ bezeichnet.
Die Beschriftung erfolgt in der Regel gegen den Uhrzeigersinn. Die längste Seite wird oft mit $$c$$ betitelt - die Hypotenuse ist jetzt $$c$$.

Diese Formel findest du nahezu überall. Sie gilt, wenn $$a$$ und $$b$$ die Katheten sind und $$c$$ die Hypotenuse. Natürlich kannst du den Dreiecksseiten andere Namen geben. Dann sieht auch der Satz des Pythagoras anders aus.

Es gilt $$♡^2 + y^2 = x^2$$.

Umstellen der Formel

Es gibt Situationen, in denen du nicht die längste Seite ausrechnen möchtest, sondern eine Kathete. Dann stellst du die Formel um.

$$a^2+b^2=c^2$$ $$|-a^2$$

$$b^2=c^2-a^2$$

oder

$$a^2+b^2=c^2$$ $$|-b^2$$

$$a^2=c^2-b^2$$

Immer wenn du eine Kathete berechnen möchtest, ist der Satz des Pythagoras eine Minus-Aufgabe. Von dem Hypotenusenquadrat wird ein Kathetenquadrat abgezogen.

Anders herum geht die $$-$$Aufgabe nicht, denn das Hypotenusenquadrat ist größer als der Flächeninhalt von dem Kathetenquadrat.

Ja und?

Solltest du jetzt denken, dass das nichts Atemberaubendes ist, liegst du falsch. :-) Mit dem Satz des Pythagoras kannst du viele Herausforderungen lösen.

Zum Beispiel:
Wie hoch reicht eine 4 m lange Leiter hinauf, wenn du sie 1,5 m entfernt von der Hauswand aufstellst?

In dieser Aufgabe liegt ein rechtwinkliges Dreieck, also kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die fehlende Seite im Dreieck zu berechnen.
(Solche Berechnungen können Leben retten, wenn es zum Beispiel in einem Haus brennt und die Feuerwehr mit dem richtigen Leiterwagen zur Rettung eilt.)

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Jetzt wird gerechnet

Als erstes lernst du, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen.

Gegeben ist:
$$a = 3$$ $$cm$$ und $$b = 4$$ $$cm$$ - die Katheten

Gesucht ist :
$$c$$ - die Hypotenuse

Notiere den Satz des Pythagoras, den du verwendest.
$$c^2 = a^2 + b^2$$

Setze die Zahlen ein.
$$c^2 =3^2+4^2$$

Rechne so weit wie möglich aus.

$$c^2=9+16$$

$$c^2=25$$

Da du nicht das Hypotenusenquadrat berechnen möchtest, sondern die Hypotenuse, die Länge dieser Seite, musst du jetzt auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen.

$$c^2=25$$ $$|sqrt( )$$

$$c=5$$

$$c$$ ist $$5$$ $$cm$$ lang.

Rechnung auf einen Blick:

$$c^2=a^2+b^2$$

$$c^2=3^2+4^2$$

$$c^2=9+16$$

$$c^2=25$$ $$|sqrt( )$$

$$c=5$$

Wenn die Wurzel aus dem Hypotenusenquadrat gezogen wird, kann es sein, dass du eine unendliche Dezimalzahl als Ergebnis bekommst. Runde dann dein Ergebnis. In der Aufgabenstellung steht, auf wie viele Nachkommastellen. Oder dein Lehrer sagt es dir.

Weiter gerechnet

Du lernst jetzt, wie du eine der Katheten im rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst.

Gegeben sind die Längen $$c = 5$$ $$cm$$ (Hypotenuse) und $$a = 3$$ $$cm$$. Gesucht ist die Kathete $$b$$.

Notiere die Formel, die du verwendest.
$$b^2 = c^2 - a^2$$

Setze die Zahlen ein.
$$b^2=5^2-3^2$$

Rechne so weit wie möglich aus:

$$b^2=25-9$$

$$b^2=16$$

Jetzt ziehst du die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung. Bisher hast du nur den Flächeninhalt von der Kathete $$b$$ berechnet. Du willst aber die Länge der Kathete herausbekommen.

$$b^2=16$$ $$|sqrt( )$$

$$b=4$$

$$b$$ ist $$4$$ $$cm$$ lang.

Auch bei dieser Rechnung bekommst du nach dem Wurzelziehen oft eine unendliche Dezimalzahl heraus. Runden nicht vergessen. :-)

Die Rechnung mal anders

Du kannst die Rechnung für die Hypotenuse auch anders notieren. Sie berechnet dasselbe.

Gegeben ist:
$$a = 3$$ $$cm$$ und $$b = 4$$ $$cm$$ - die Katheten

Gesucht ist:
$$c$$ - die Hypotenuse

Der Unterschied ist, dass du gleich nach $$c$$ (die Länge, nicht das Quadrat) umstellst.
Dann musst du die Wurzel aber sofort über den anderen Teil der Gleichung setzen.

$$c^2=a^2+b^2$$ $$|sqrt( )$$

$$c=sqrt(a^2+b^2)$$

$$c=sqrt(3^2+4^2)$$

$$c=sqrt(9+16)$$

$$c=sqrt(25)$$

$$c=5$$

Auch die Kathetenberechnung kannst du genauso gleich unter einer Wurzel notieren.

Du nimmst den Rechenweg, der dir besser gefällt.

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Ist ein Dreieck rechtwinklig?

Wenn du 3 Längen eines Dreiecks gegeben hast, kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras prüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Das Dreieck ist rechtwinklig, wenn die Gleichung Hypotenuse² = erste Kathete² + zweite Kathete² gilt. Wenn die Gleichung nicht gilt (auf beiden Seiten der Gleichung stehen nach der Ausrechnung verschiedene Zahlen), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

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