Scheinbar eine beliebte Frage in Bewerbungsgesprächen ist immer noch, wie oft sich die Zeiger einer Uhr an einem Tag überlappen. Nun, ich habe mir das aufgrund einer E-Mail eines Bloglesers mal vorgenommen. Show Überlappungen am VormittagDer Start um Mitternacht (also 00:00 Uhr) wäre dabei die erste Überlappung von Minutenzeiger und Stundenzeiger.
Überlappungen am NachmittagNachmittags wiederholt sich das Ganze analog zum Vormittag:
Zählen wir die Überlappungen vom Vormittag und Nachmittag zusammen, kommen wir im Summe auf 22 Überlappungen am Tag (Mitternacht zählt dann ja schon wieder als Start des darauffolgenden Tages). Hier noch mal alle Überlappungen zusammengefasst:
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen, lieber Boris. P.S.: auf die krummen Minutenzahlen komme ich über die folgende Rechnung: wenn die Zeiger sich in 12 Stunden 11 Mal überlappen, kann man also 12 geteilt durch 11 rechnen. Das sind 1,090909 Stunden beziehungsweise 1 Stunde, 5 Minuten und 27 Sekunden. 0 0 Bewertungen Gesamtbewertung Jacques Ozanam stammte aus einer konvertierten jüdischen Familie und wurde 1640 in Bouligneux geboren. Er starb am 3. April 1717 in Paris. Auf Wunsch seines Vaters studierte er zunächst Theologie. Als dieser starb, wechselte er zur Mathematik. Ozanam publizierte zahlreiche Mathematikbücher, darunter ein zweibändiges Werk über Probleme der Unterhaltungsmathematik und -physik, das 1694 erstmals erschien. In einer Ausgabe von 1725 findet sich das folgende Problem: Um Mitternacht und mittags um zwölf Uhr stehen der Minuten- und der Stundenzeiger genau übereinander. Wie viele weitere Male passiert das noch während der zwölf Stunden zwischen Mitternacht und Mittag und wie viel Zeit verstreicht zwischen zwei Treffen der Zeiger? In zwölf Stunden läuft der Minutenzeiger zwölf Mal und der Stundenzeiger ein Mal über das Zifferblatt. Folglich überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger elf Mal. Das letzte Treffen findet genau um zwölf Uhr mittags statt. Somit stand der Minutenzeiger zwischen Mitternacht und Mittag zehn Mal genau über dem Stundenzeiger. Die Zeit zwischen zweien dieser Treffen beträgt also 12/11 Stunden oder 1 Stunde, 5 Minuten und 27,27… Sekunden.
 Aufgabe 1
Lösung: In 24 Stunden vollführt der Stundenzeiger zwei, der Minutenzeiger 24 Umdrehungen auf dem Ziffernblatt. Wenn wir die Uhr so mitdrehen, dass der Stundenzeiger immer nach oben zeigt, sieht man folglich (wegen des gleichen Drehsinns) den Minutenzeiger 22 Umdrehungen machen. Während jeder dieser Umdrehungen steht er genau zweimal senkrecht zum Stundenzeiger, nämlich einmal nach rechts und einmal nach links zeigend. Insgesamt stehen die beiden Zeiger also am Tag genau 44-mal senkrecht zueinander. Beim ersten Senkrechtstand nach Mitternacht hat sich der (schnellere) Minutenzeiger genau um 90 Grad mehr gedreht als der Stundenzeiger. Wir rechnen am einfachsten in Grad und stellen noch fest, dass sich der Minutenzeiger (mg sei sein zurückgelegter Winkel in Grad) genau 12-mal so schnell dreht wie der Stundenzeiger (sg). Die Bedingung für den ersten Senkrechtstand lautet also: mg = sg + 90 = Somit ist der Zeitpunkt des ersten Senkrechtstandes um Eine andere Möglichkeit, diesen Zeitpunkt zu berechnen, wäre übrigens die folgende: Drehen wir die Uhr nach wie vor so mit, dass der Stundenzeiger immer nach oben zeigt, so brauchen wir nur den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem der Minutenzeiger eine Vierteldrehung vollführt hat. Da er sich, wie oben gesehen, in 24 Stunden genau 22-mal dreht, braucht er für diese Vierteldrehung genau
Wenn Kirstin beginnt, wer von beiden kann bei klugem Spiel gewinnen? Lösung: Kirstin gewinnt, wenn sie klug spielt. Zwischen Kirstin und Lars stehen insgesamt 2005 Kinder, davon eine gerade Anzahl links von Kirstin und eine ungerade Anzahl rechts oder umgekehrt. Kirstin gewinnt, wenn sie dafür sorgt, dass immer, wenn Lars am Zug ist, auf beiden Seiten eine ungerade Anzahl von Kindern, mindestens also eines zwischen ihnen steht. Folglich wird sie zu Anfang auf der Seite ein Kind berühren, wo die gerade Anzahl von Kindern steht. Wenn Lars nun im Laufe des Spiels seinen rechten Nachbar berührt, fasst Kirstin ihren linken Nachbar an, der ja von Lars aus gesehen rechts steht, so dass dort eine ungerade Anzahl von Kindern übrig bleibt - und entsprechend umgekehrt, wenn Lars seinen linken Nachbarn berührt. So geht es immer weiter, und da in jedem Schritt ein Kind den Kreis verlässt, muss nach spätestens 2004 Schritten Lars einen von Kirstins Nachbarn berühren, woraufhin Kirstin Lars berührt und so das Spiel gewinnt.
Olaf schreibt die Zahlen 1 und 2 nebeneinander in eine Reihe. Er berechnet das Produkt 1 . 2 = 2 und fügt die Ziffer 2 hinten an die Reihe an. Danach nimmt Olaf die nächsten beiden Ziffern 2 und 2 und fügt das Produkt 4 wieder hinten an die Reihe an. Im nächsten Schritt erhält Olaf analog die Ziffer 8 und fügt sie an. Danach muss er 4 . 8 = 32 berechnen und die beiden neuen Ziffern 3 und 2 anfügen. Bis dahin hat die entstandene Reihe also die Gestalt 1, 2, 2, 4, 8, 3, 2. Nun nimmt Olaf wieder das nächste Paar benachbarter Zahlen, deren Produkt noch nicht berechnet wurde, also 8 und 3, und fügt die Ziffern des Produktes 8 . 3 = 24 hinten an die Reihe an. Nach zwei weiteren Schritten hat die Reihe dann die Form1, 2, 2, 4, 8, 3, 2, 2, 4, 6, 4. Wenn Olaf die Reihe immer weiter so fortsetzt: An welcher Stelle der Reihe kommt die erste 0 vor? Wo die erste 5, die erste 7 und die erste 9?
Weder die 0 noch die 5, 7 und 9 kommen in der Folge vor. Das sieht man wie folgt ein: Käme eine der Ziffern 0, 5, 7, 9 vor, so betrachten wir die erste Stelle, an der eine solche Ziffer auftritt. Nach dem Bildungsgesetz müsste diese Ziffer eine Ziffer in einem Produkt von zwei Ziffern sein, die in der Folge vor dieser einen Ziffer stehen. Jedoch ist die einzige Möglichkeit, in einem Produkt von zwei Ziffern der Menge {1, 2, 3, 4, 6, 8} eine der Ziffern 0, 5, 7, 9 zu finden, 3 . 3 = 9 (wie man leicht durch Probieren ermittelt). Es müssten also zwei Dreien in der Folge hintereinander stehen. Nun gibt es jedoch zu Beginn keine zwei aufeinander folgenden ungeraden Ziffern, und auch nicht nach Anfügen des ersten (geraden!) Produktes. Damit ist jedes Produkt, was aus zwei aufeinander folgenden, bereits bekannten Ziffern gebildet wird, gerade, und weiter entsteht beim Anfügen eines neuen Produktes ebenso kein Paar ungerader Ziffern, denn das Produkt, das höchstens zweistellig ist, wird an eine gerade Ziffer angefügt (die Endziffer des vorigen Produktes) und hat als letzte (genauer: einzige oder zweite) Ziffer eine gerade Ziffer. Damit kann es insbesondere keine zwei Dreien hintereinander geben, so dass die Annahme, es gäbe eine der Ziffern 0, 5, 7, 9 in der Folge, zum Widerspruch geführt wurde.
Zeige, dass die Mönche ihr Kloster retten können! Nachtrag zur Aufgabenstellung: Wir wurden - zu Recht - darauf hingewiesen, dass die Aufgabe manchmal nicht lösbar ist: Es kann nämlich sein, dass es zwar einen ebenen Schnitt gibt, der die Metallanteile halbiert, aber der Kristall durch den Schnitt in mehr als zwei Teile zerfällt (das kann z. B. passieren, wenn der Kristall U-förmig ist). Gemeint war, dass man nur zeigen sollte, dass es eine Schnittebene wie beschrieben gibt. Entstehen physisch mehr als zwei Teile, ist das kein Vergehen, wir fassen die Teilstücke auf einer jeden Seite zu einem Teil zusammen.
Zunächst stellen wir uns den Kristall als kugelrund vor - dies ändert offenbar nichts an der Aufgabe, denn man kann dies durch Hinzufügen von Kristall erreichen, der für diese Aufgabe nur Füllmaterial ist. (Hier war die Aufgabe eventuell nicht klar genug formuliert: Die beim Zerschneiden entstehenden ,,Teile``sind als ,,Hälften``zu verstehen, und dürfen durchaus auch aus mehreren Einzelteilen bestehen, wenn der Kristall ungünstig geformt ist.) Der Mittelpunkt dieser Kristallkugel k sei M und r sei ihr Radius. Für jeden Punkt Q auf der Oberfläche von k betrachten wir nun die Tangentialebene EQ an der Kugel in Q (das ist die Ebene, die die Kugel in dem Punkt Q berührt) und verschieben diese gedanklich parallel in Richtung Da es beim Verschieben keine Sprünge in diesem Anteil geben kann (das Verschieben ist eine stetige Bewegung), muss also irgendwann die Ebene EQ das Gold genau halbieren. Die Streckenlänge, um die man EQ bis dahin verschieben musste, nennen wir dG. Offenbar gilt 0 < dG < 2r. Ganz analog gilt das natürlich auch für das Silber und das Platin, so dass man auch hier nach Verschieben um dS bzw. dP Ebenen erhält, die parallel zu EQ sind und das Silber bzw. das Platin genau halbieren. Zu jedem Punkt Q auf der Kugeloberfläche betrachten wir nun das Paar (xQ, yQ) = (dG - dP, dG - dS). Eine wichtige Beobachtung ist dabei: Wenn - Q den zu Q gegenüberliegenden Punkt auf der Oberfläche von k bezeichnet, so gilt (x-Q, y-Q) = (- xQ, - yQ). Dies folgt einfach aus der Tatsache, dass die Ebenen, die Gold, Silber und Platin halbieren, für Q und - Q dieselben sind, man aber in genau entgegengesetzte Richtungen verschieben muss, um diese zu erhalten.Nun lassen wir Q auf der Oberfläche von k einen Großkreis t (das ist ein Kreis maximalen Radius auf der Kugeloberfläche - wie z. B. der Äquator oder jeder Längenkreis) entlangfahren. Die Punkte (xQ, yQ) beschreiben dabei eine geschlossene Kurve Daraus folgt, dass der Ursprung im Inneren der von der Kurve umschlossenen Fläche liegen muss. Nun drehen wir den Großkreis t in Gedanken um 180o um einen seiner Durchmesser und beobachten das Verhalten der Kurve Zu irgendeinem Zeitpunkt muss die Kurve also den Ursprung (0, 0) überstrichen haben. Zu dieser Kurve gehört also ein Punkt Q auf der Kugeloberfläche, für den dG - dS = 0 = dG - dP ist. Die drei Ebenen, welche die jeweiligen Materialien halbieren, fallen also für diesen Punkt Q zu einer einzigen zusammen, und wenn die Mönche entlang dieser Ebene schneiden, retten sie ihr Kloster.
Das ist falsch! Als einfaches Gegenbeispiel denke man sich den Goldanteil in Form eines regelmäßigen Tetraeders. Ein Schnitt durch dessen Schwerpunkt parallel zu einer Seitenfläche teilt das Tetraeder im Verhältnis 27 : 37. Wie oft liegen Stunden und Minutenzeiger übereinander?Genauer gesagt elf Mal am Vormittag und elf Mal am Nachmittag. Insgesamt liegen der Minuten- und der Stundenzeiger also 22 Mal am Tag direkt übereinander.
Wie oft dreht sich der Stundenzeiger an einem Tag?Lösung: In 24 Stunden vollführt der Stundenzeiger zwei, der Minutenzeiger 24 Umdrehungen auf dem Ziffernblatt. Wenn wir die Uhr so mitdrehen, dass der Stundenzeiger immer nach oben zeigt, sieht man folglich (wegen des gleichen Drehsinns) den Minutenzeiger 22 Umdrehungen machen.
Wie oft am Tag überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger?An einem Tag streicht der Minutenzeiger 22 Mal über den Stundenzeiger hinweg. Erklärung: Zwei Zeitpunkte, an denen die Zeiger übereinander stehen, sind auf den ersten Blick klar: Um 0:00 Uhr und um 12:00 Uhr. Doch auch dazwischen überholt der Minutenzeiger den langsameren Kollegen.
Wie oft überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger in 12 Stunden?Der Minutenzeiger überholt den Stundenzeiger insgesamt elf Mal in 12 Stunden. Das Ganze passiert natürlich bei gleichmäßiger Geschwindigkeit. Wir teilen also die 12 Stunden durch die 11 Überschneidungen und erhalten 1,090909 Stunden.
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Wie oft am Tag bilden Stunden und Minutenzeiger auf einer Uhr eine gerade Linie?
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