Warum kann am e gleich null setzen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Satz vom Nullprodukt besagt.

• Satz
• Beispiele

Satz 

Übersetzung: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Anwendung

Der Satz des Nullprodukts wird beim Lösen von Gleichungen eingesetzt.

Voraussetzungen

$\checkmark$ Auf der linken Seite der Gleichung stehen nur Faktoren
$\checkmark$ Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Null

Beispiel 1 

Gegeben sei die Gleichung

$$ x + 4 = 0 $$

Dürfen wir den Satz vom Nullprodukt anwenden?

Nein, weil auf der linken Seite eine Summe steht.

Beispiel 2 

Gegeben sei die Gleichung

$$ x \cdot 4 = 0 $$

Dürfen wir den Satz vom Nullprodukt anwenden?

Beispiel 3 

Gegeben sei die Gleichung

$$ (x - 1) \cdot (x + 2) = 0 $$

Dürfen wir den Satz vom Nullprodukt anwenden?

Beispiel 4 

Gegeben sei die Gleichung

$$ x \cdot (x - 3) = 2 $$

Dürfen wir den Satz vom Nullprodukt anwenden?

Nein, weil auf der rechten Seite keine Null steht.

Beispiele 

Beispiel 5 

Löse die Gleichung

$$ x \cdot 4 = 0 $$

mithilfe des Satzes vom Nullprodukt.

Faktoren einzeln gleich Null setzen

1. Faktor gleich Null setzen

$$ x {\color{red}\:=0} $$

Der 1. Faktor wird Null, wenn $x = 0$ ist.

2. Faktor gleich Null setzen

$$ 4 {\color{red}\:=0} \quad \text{(Widerspruch!)} $$

Der 2. Faktor kann nie Null werden.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{0\} $$

Beispiel 6 

Löse die Gleichung

$$ (x - 1) \cdot (x + 2) = 0 $$

mithilfe des Satzes vom Nullprodukt.

Faktoren einzeln gleich Null setzen

1. Faktor gleich Null setzen

$$ x - 1 {\color{red}\:=0} $$

Gleichung mithilfe einer Äquivalenzumformung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$

Der 1. Faktor wird Null, wenn $x = 1$ ist.

2. Faktor gleich Null setzen

$$ x + 2 {\color{red}\:=0} $$

Gleichung mithilfe einer Äquivalenzumformung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} x + 2 &= 0 &&|\, -2 \\[5px] x &= -2 \end{align*} $$

Der 2. Faktor wird Null, wenn $x = -2$ ist.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{-2; 1\} $$

Wir dürfen den Satz vom Nullprodukt nur anwenden, wenn auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt steht. Manchmal lässt sich jedoch eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt verwandeln, sodass anschließend der Satz vom Nullprodukt angewendet werden kann.

Beispiel 7 

Löse die Gleichung

$$ 7x - 7 = 0 $$

durch Faktorisieren und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt.

Term faktorisieren

Wir faktorisieren den Term durch Ausklammern:

$$ 7 \cdot (x - 1) = 0 $$

Faktoren einzeln gleich Null setzen

1. Faktor gleich Null setzen

$$ 7 {\color{red}\:=0} \quad \text{(Widerspruch!)} $$

Der 1. Faktor kann nie Null werden.

2. Faktor gleich Null setzen

$$ x - 1 {\color{red}\:=0} $$

Gleichung mithilfe einer Äquivalenzumformung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$

Der 2. Faktor wird Null, wenn $x = 1$ ist.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{1\} $$

Beispiel 8 

Löse die Gleichung

$$ x^2 - 16 = 0 $$

durch Faktorisieren und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt.

Term faktorisieren

Wir faktorisieren den Term durch Anwendung der 3. Binomische Formel:

$$ (x+4) \cdot (x-4) = 0 $$

Faktoren einzeln gleich Null setzen

1. Faktor gleich Null setzen

$$ x + 4 {\color{red}\:=0} $$

Gleichung mithilfe einer Äquivalenzumformung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} x + 4 &= 0 &&|\, -4 \\[5px] x &= -4 \end{align*} $$

Der 1. Faktor wird Null, wenn $x = -4$ ist.

2. Faktor gleich Null setzen

$$ x - 4 {\color{red}\:=0} $$

Gleichung mithilfe einer Äquivalenzumformung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} x - 4 &= 0 &&|\, +4 \\[5px] x &= 4 \end{align*} $$

Der 2. Faktor wird Null, wenn $x = 4$ ist.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{-4; 4\} $$