\( \begin{array}{ r c r c r c r c r } \textrm{I} & & x & + & 3y & + & 4z & = & 8 \\[5pt] \textrm{II} & & 2x & + & 9y & + & 14z & = & 25 \\[5pt] \textrm{III} & & -5x & - & 12y & - & 18z & = & -39 \\ \end{array} \) Show \(\\\) zu lösen, können wir die Taschenrechnerfunktionen verwenden. Wir betätigen zunächst \(\boxed{MENU}\). Dadurch erhalten wir folgende Displayanzeige.  \(\\\) Mit Pfeil rechts \(\\\) gelangen wir nach mehrmaligen Betätigen zu \(\\\) Alternativ kommt man hier auch hin mit der Tastenkombination \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{\color{#CC0000}{ALPHA}}\) \(\boxed{(-)}\). Wir bestätigen mit \(\boxed{=}\) \(\\\) und wählen nun 1: Gleichungssyst. mit \(\boxed{1}\). Wir müssen die Anzahl der zu berechnenden Parameter eingeben. Das entspricht, sofern das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, der Anzahl der Zeilen des Gleichungssystems. \(\\\) Wir drücken die \(\boxed{3}\). Wir geben alle Parameter ein. Kommt eine Stelle im jeweiligen Gleichungssystem nicht vor, so muss eine \(\boxed{0}\) eingegeben werden, auch wenn auf dem Display schon eine Null steht. Ansonsten gibt es eine Fehlermeldung. \(\\\) Für das Gleichungssystem \( \begin{array}{ r c r c r c r c r } \textrm{I} & & x & + & 3y & + & 4z & = & 8 \\[6pt] \textrm{II} & & 2x & + & 9y & + & 14z & = & 25 \\[6pt] \textrm{III} & & -5x & - & 12y & - & 18z & = & -39 \\ \end{array} \) \(\\\) geben wir zunächst eine \(\boxed{1}\) ein und bestätigen mit \(\boxed{=}\). \(\\\) So fahren wir fort bis alle Werte eingegeben sind. \(\\\) Wir bestätigen erneut mit \(\boxed{=}\) . \(\\\) Für das 2. Ergebnis bestätigen wir wieder \(\boxed{=}\) . \(\\\) Und noch einmal für das 3. Ergebnis. \(\\\) Falls sich ein Fehler eingeschlichen hat, kann man mit erneuten \(\boxed{=}\) zum Anfang der Eingabe zurückkehren. Bei der Äquivalenzumformung musst du nicht immer addieren. Sie funktioniert bei allen vier Rechenoperationen. Schauen wir uns hierzu je ein Beispiel an: Hier klicken zum Ausklappen Addition Die Addition hast du bereits kennengelernt. Hier noch ein weiteres Beispiel: $x - 34 = 22$ | + 34 $x = 56$ Die Addition ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Subtraktion steht (Minusrechnung). Hier klicken zum Ausklappen Subtraktion $x + 3 = 7 |\textcolor{blue}{-3}$ $x + 3 \textcolor{blue}{-3} = 7 \textcolor{blue}{-3} $ $x + 0 = 4$ $x = 4$ Die Subtraktion ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Summe steht (Plusrechnung). Hier klicken zum Ausklappen Multiplikation $\frac{x}{3} = 5 |\textcolor{blue}{\cdot 3}$ $\frac{x\textcolor{blue}{\cdot 3}}{3} = 5 \textcolor{blue}{\cdot 3}$ $x \cdot \frac{\textcolor{blue}{3}}{3} = 15$ $x \cdot 1 = 15$ $x = 15$ Die Multiplikation ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ im Zähler eines Bruches oder allgemein in einer Division steht. Hier klicken zum Ausklappen Division $5 \cdot x = 30 |\textcolor{blue}{:5}$ $\frac{5\cdot x}{\textcolor{blue}{5}} = \frac{30}{\textcolor{blue}{5}}$ $\frac{5}{\textcolor{blue}{5}} \cdot x = 6$ $ 1 \cdot x = 6$ $x = 6$ Die Division ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einem Produkt steht. Anwendung mehrerer Äquivalenzumformungen zum Lösen einer GleichungNatürlich sind die Gleichungen nicht immer so einfach wie in diesen Beispielen. Bei komplexeren Gleichungen musst du die Methoden kombinieren. Schauen wir uns einmal ein schwierigeres Beispiel an: $16 - 4 \cdot x = 20$ Die Variable steht in einem Term, in dem multipliziert und subtrahiert wird. Wir wollen die Gleichung nach $x$ auflösen. Dazu wollen wir zunächst die $16$ auf der linken Seite der Gleichung entfernen: $16 - 4 \cdot x = 20 | -16$ $ -4 \cdot x = 4$ Jetzt ist $x$ nur noch Teil eines Produktes und wir wenden die Division an. $ -4 \cdot x = 4 |:(-4)$ $ x = -1 $ Hier klicken zum Ausklappen Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt:
Gleichungen lösen, in denen die Variable mehrmals vorkommt - Aufgabe mit LösungEs kann auch passieren, dass du auf eine Gleichung stößt, bei der sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite die Variable steht. Zunächst musst du auf jeder Seite der Gleichung den Term soweit wie möglich vereinfachen, indem du zusammenfasst, was du zusammenfassen kannst: $6 \cdot x + 6 - 2 \cdot x = 10 - x + 6$ $4 \cdot x + 6 = 16 - x $ Nun musst du die Variable auf die eine Seite der Gleichung und die Zahlen ohne Variable auf die andere Seite der Gleichung bringen. Auch dabei hilft dir die Äquivalenzumformung. Der einzige Unterschied: $x$ ist dieses Mal auch Teil der Umformung. $4 \cdot x + 6 = 16 - x | \textcolor{blue}{+ x}$ $4 \cdot x + 6 \textcolor{blue}{+ x }= 16 - x \textcolor{blue}{+ x} $ $5 \cdot x + 6 = 16 $ Wir erhalten eine Gleichung, die wir mittels weiterer Äquivalenzumformungen lösen können. $5 \cdot x + 6 = 16 | - 6$ $5 \cdot x = 10 | : 5$ $ x = 2 $ Am Ende der Aufgabe solltest du immer überprüfen, ob $x$ auch wirklich stimmt. Setze dazu einfach deine gefundene Zahl in die Ausgangsgleichung ein: $6 \cdot 2 + 6 - 2 \cdot 2 = 10 - x + 6$ $12 + 6 - 4 = 10 - 2 + 6$ $14 = 14$ Erhältst du, wie in diesem Beispiel, einen mathematisch korrekten Ausdruck, hast du richtig gerechnet. Hier klicken zum Ausklappen Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gelten folgende Arbeitsschritte: (1) Die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung soweit wie möglich vereinfachen (zusammenfassen). (2) Die Variable durch Äquivalenzumformung auf eine Seite bringen. (3) Die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen lösen. Nun hast du einen detaillierten Einblick darüber erhalten, wie man Gleichungen umformen und lösen kann. Um dein Wissen zu vertiefen, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg! Wie löse ich eine Gleichung mit zwei Unbekannten?Lösungen linearer Gleichungen mit zwei Variablen bestimmen
Lösungen bestimmst du, indem du eine beliebige Zahl für xin die Gleichung einsetzt und diese dann nach yauflöst, oder umgekehrt. Auf diese Weise erhältst du beliebig viele Wertepaare, die Lösungen der Gleichung sind.
Wie setze ich 2 Gleichungen gleich?Beim Gleichsetzungsverfahren löst man ein Gleichungssystem, indem man zuerst beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten freistellt, dann diese Gleichungen zusammensetzt und so eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten erhält. Diese ermittelt man und setzt sie in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.
Wie tut man gleichsetzen?Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Gleichsetzungsverfahren in folgenden Schritten gelöst:. Es werden – falls nötig – beide lineare Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst.. Die erhaltenen Terme werden gleichgesetzt.. Die so entstandene lineare Gleichung mit nur einer Variablen wird gelöst.. Wie rechnet man äquivalente?äquivalente Gleichungen
Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmengehaben. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und x = 3 sind äquivalent, denn beide Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {3}. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und 3x + 6 = 15 sind äquivalent, denn beide Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {3}.
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2 gleichungen 4 unbekannte gleichen wert wählen
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